Если записать уравнение в виде

f(x) =0 (3),

то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.

Эти свойства, накладываемые на функцию f(x) обусловлены теоремами о существовании корня непрерывной функции.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (3).

Утверждение этой теоремы легко проиллюстрировать графически, так как корень уравнения (3) – это точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Если же есть промежуток, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков и функция непрерывна на этом промежутке, то, очевидно, существует, по крайней мере, одна точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков и производная функции f(x) сохраняет знак, то на этом отрезке существует корень уравнения (3), причем единственный.

В качестве примера приложения этих теорем рассмотрим решение уравнения (2). Приведем его к виду (3):

х–cos(x)=0, где f(x)=x–cos(x)

Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения разбивается на 2 этапа:

1) Отделение корней.

2) Уточнение корней до заданной степени точности.

1. Отделение корней. Будем считать, что корень уравнения отделен на отрезке [a, b], если установлено, что он принадлежит этому отрезку, и других корней там нет.

Для решения данной задачи можно использовать программу Microsoft Excel. Вначале определим на каком отрезке лежит искомый корень. Для этого:

1. Включите компьютер;

2. после того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Excel;

3. сделаем первую строку – строкой заголовка, т.е. занесём в ячейкиA1, В1, С1 таблицы элементы х и cos(x) и F(x) соответственно;

4. активизируйте ячейку А2 и занесите в неё число –1, после чего нажмите на клавишу Enter;

5. в ячейке А3 запишите формулу: =А2+0,1, после чего автозаполнением заполните ячейки А4¸А22;

6. активизируйте ячейку В2 и запишите в неё формулу: =COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;

7. автозаполнением заполните ячейки В3¸В22;

8. активизируйте ячейку С2 и запишите в неё формулу: =А2–COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;

9. автозаполнением заполните ячейки С3¸С22.

В результате мы получаем таблицу значений функции. Выберем промежуток, на котором функция меняет знак. Из рисунка 15.1 видно, что это отрезок [0,1].

Функция f(x)=x-cos(x) непрерывна на этом отрезке, при этом f(0)=-1, f(1)=0,4597, ее производная равна на всей области определения, следовательно, функция имеет единственный корень, который принадлежит отрезку [0, 1].

2. Уточнение корня до заданной точности. Рассмотрим различные алгоритмы уточнения корня.

Метод последовательных приближений.

 

Предположим. Что уравнение (3) можно записать в виде:

x=j(x) (4)

Возьмем произвольное значение х₀ из области определения функции j(x) и будем строить последовательность чисел {x_n}, определенных с помощью рекуррентной формулы x_n+1=j(x_n), n=0,1,2,…(5).

Последовательность {x_n}, называется итерационной последовательностью. При ее изучении возникают два вопроса:

1) Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, то есть, будут ли числа x_n принадлежать области определения функции j(х)?

2) Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа x_n, при n ®¥?

Исследование этих вопросов показывают, что при определенных ограничениях на функцию j(х) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (4):

, C=j(C).

В качестве примера, иллюстрирующего данный метод, рассмотрим уравнение (2), в котором роль функции j(х) играет cos(x). Теперь, в соответствии с рекуррентной формулой (5) уравнение (2) перепишем следующим образом

х_n+1=cos(x_n) (6).

Корень этого уравнения будем искать на отрезке [0, 1], а в качестве нулевого приближения выбираем середину отрезка х₀=0,5.

В программе Excel расчет по (6) произведем для n=19.

В этой таблице процесс вычислений остановлен на 19-ой итерации и можно написать для корня с двойное неравенство:

0,738912449332103< с <0,739201444135799,

где х₁₈=0,738912449332103,

х₁₉=0,739201444135799.

Члены итерационной последовательности х₁₈ и х₁₉ определяют с как с недостатком, так и с избытком, с погрешностью, которая не превышает разности ½х₁₉-х₁₈½:

e<D₁₉=½х₁₉-х₁₈½<0,0003

Для иллюстрации зависимости поведения {x_n} от n, построим график функции x_n=x_n(n) (см. рис. 15.2).

Рис. 15.2

Эта функция колеблется вокруг среднего значения с = , которое можно принять за корень с точностью указанной погрешности.