Интегралы в правых частях формул (29.5) и (29.6) называются

D b

повторными (или двукратными), а интегралы и,y)dy и j/(x, у) dx

Называются внутренними.

ь d

J*<£xjV(x, y)dy

ле (29.5) подразумевается дважды произведе­нное интегрирование. Первое интегрирова­ние (внутреннее) по переменной у совершает­ся в пределах от с до d в предположении, что я: остается постоянным; результат интег­рируется по переменной х в пределах от а до Ь.

Если вычисление двойного интеграла выполняется по формуле (29.6), то порядок интегрирования меняется; внутренний интеграл вычисляется по переменной х, причем у сохраняет постоянное значение, а внешнее (повторное) интегрирование производится по переменной у.

2) Если область D такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает ее границу в двух точках (рис. 199 и 200), то эта область называется простой относительно оси Ох и определяется системой неравенств вида

а^х^Ь, ф!(х)<^<ф₂(х).

В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле

ъ ф₂ <*)

jj/(x, y)dxdy=jdx j” f(x, y)dy. (29.7)

D a *1 <*>

3) Если граница области D пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Ох (рис. 201), то эта область называется простой относительно оси Оу и определяется системой неравенств вида

c^y^d, ФхО'Цх^ФгМ-

В этом случае двойной интеграл выражается формулой

d 9₂ (у)

JJ f{x,y)dxdy=^dy J /(х, у) dx, (29.8)

D с *, о>>

где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.

X

 

 

Рис. 202

 

4) Если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.

В случае, изображенном на рис. 202, область D_l определяется системой неравенств а^х^с, cpi(x)<j><cp₂(х), а область Z>₂—системой неравенств с^х^Ь, q>i{x)^y^q>₃(x), и, значит,

С Ч>2 (*) ь Ч»з (X)

\^fdxdy=Qfdxdy+ \^fdxdy = ^dx J fdy+\^dx J fdy. (29.9)

_D D_l D₂ а _Ф1 (x) с (x)

3 x ² + 4 j* j >•

12 12 Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:

х ² + 4 х ² + 4

| = | ^ = ^№²⁺⁴ = ^(*² + ⁴-²Н+²*'²-

2 2

Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив в него полученное выражение:

з _ _

|(1+2лГ^=[*-^Дз-?)-(1-2)=3;

17. Вычислить двойной интеграл

ограниченной прямыми х=2, х = 6, у— 1 и у = 4. 442

О Область D является простой отно­сительно осей Ох и Оу (рис. 203), поэтому у =4 для вычисления интеграла можно исполь­зовать любую из формул (29.5) или (29.6).

Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (29.5):

6 4

^(x+y)dxdy =^dx j*( x+y)dy .

D 2 1

Вычислив внутренний интеграл по переменной у при постоянном х, находим

|(jc+y)<fy=^+^-J =(4х+8)-^хН^ = Зх+у.