Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц

Число называется собственным значением квадратной матрицы , если существует такой ненулевой n -мерный вектор (т.е. матрица с одним столбцом, не все элементы которой равны нулю) , что выполнено: . При этом указанный вектор Х называется собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению .

Приведенное выше матричное равенство может быть расписано поэлементно в виде: . Перенося правые части уравнений в левые части, получим следующую однородную систему уравнений:

(13) .

Наличие ненулевого решения Х матричного уравнения означает наличие ненулевого решения у однородной системы (13). По Утверждению 2 предыдущего параграфа наличие ненулевого решения однородной системы возможно только в случае, если основной определитель системы равен 0. Таким образом, число является собственным значением матрицы А только в том случае, если при этом обращается в 0 основной определитель системы (13). Тем самым доказана следующая

Теорема. Собственные значения матрицы суть корни уравнения

(14) .

Если раскрыть этот определитель по правилу вычисления определителей, то получится многочлен степени n относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Таким образом, собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического многочлена.

Пример. Найти собственные значения матриц:

Решение:
а) , откуда .

б) , откуда .

Раздел III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

Все величины, встречающиеся на практике, можно разбить на два класса − скалярные и векторные. Скалярные величины полностью характеризуются задающим их числом (объем, масса, температура, количество студентов в данном ВУЗе, …). Векторные величины характеризуются не только своим численным значением, но и выделенным направлением своего действия (скорость, ускорение, сила…).

Вектор – направленный отрезок, у которого обозначены начальная и конечная точки. Обозначение вектора: либо записываются буквы, которыми обозначены начальная и конечная точки вектора, со стрелкой вверху, либо одной буквой со стрелкой, либо одной буквой жирным шрифтом без стрелки: a, , . На рисунке изображены некоторые векторы вместе с их обозначением. Векторы, естественно, нарисованы в плоскости страницы, но в принципе их начальные и конечные точки могут располагаться в любом месте трехмерного пространства.

Одной из характеристик вектора является его длина. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка АВ. Обозначение длины вектора: | |, | a |, .

Векторы и называются коллинеарными (или параллельными), если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. Обозначение коллинеарности векторов: || . На рисунке ниже изображены несколько пар коллинеарных векторов: || , || , || .

Как видно, некоторые пары коллинеарных векторов направлены в одну сторону, а некоторые − в разные стороны. Коллинеарные векторы и называются сонаправленными ( обозначение: ), если они направлены в одну сторону, и противоположно направленными (обозначение: ), если в разные стороны. Для рисунка выше получаем: , , . Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Перейдем теперь к понятию равенства двух векторов. Есть несколько различных определений равенства векторов, которые приводят к различным теориям векторов. В зависимости от существа задачи применяются векторы того или иного типа. В теории так называемых жестких векторов два вектора считаются равными, если они совпадают полностью, т.е. если у них совпадают начальные и конечные точки. В теории скользящих векторов можно сдвигать вектор вдоль прямой, на которой он лежит – будут получаться равные векторы. Таким образом, в теории скользящих векторов два вектора будут равными, если они расположены на одной прямой, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину. Например, если груз тянут рукой за привязанную к нему веревку с некоторой силой, направленной вдоль веревки, то характер движения не изменится, если перехватить веревку в другом месте, не меняя величину и направление приложенной силы. Поэтому в этой задаче может быть использована теория скользящих векторов. Мы будем изучать теорию так называемых «свободных» векторов, в которой при переносе вектора параллельно самому себе в любое место пространства будут получаться векторы, равные исходному. При таком переносе сохраняется только длина и направление вектора. Поэтому примем следующее определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. В символьном виде это можно записать так: . Из такого определения равенства векторов следует важный вывод, который в дальнейшем будем использовать.

Следствие. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному вектору.
Действительно, если дан некоторый вектор (на нижнем рисунке слева), то, взяв произвольную точку М в пространстве, можно через нее провести прямую, параллельную вектору , затем от этой точки вдоль этой прямой отложить вектор той же длины, что и у исходного вектора. Полученный вектор будет равен вектору по приведенному выше определению равенства векторов.

Над векторами, оказывается, можно производить некоторые операции, которые мы производим над числами (сложение, вычитание и т. п.). При этом снова будут получаться некоторые векторы. Ниже мы обсудим, по какому правилу эти векторы строятся.

Операции над векторами

1. Сумма векторов. Если даны два вектора и , то можно по некоторому правилу построить для них другой вектор, который будет называться суммой этих векторов и обозначаться + . Существуют два правила построения суммы векторов − правило треугольника и правило параллелограмма.

1) Правило параллел ограмма. Даны два вектора и (на рисунке слева).

Для построения вектора-суммы + по правилу параллелограмма необходимо от произвольной точки пространства отложить сначала один из векторов, а затем и второй вектор (возможность отложить от любой точки вектор, равный данному, обсуждена выше). Затем дополнить полученную конструкцию до параллелограмма и провести вектор от выбранной точки до противоположной вершины параллелограмма. Этот вектор и будет по определению вектором + (см. рисунок).

2) Правило треугольника. Сложим теперь эти два вектора по правилу треугольника.

 

Для сложения векторов и (на рисунке слева) по правилу треугольника необходимо от произвольной точки пространства отложить один из складываемых векторов (на рисунке это вектор ), затем от конечной точки построенного вектора отложить второй вектор (вектор ). Затем соединить начало первого построенного вектора с концом второго. Полученный вектор тоже будет считаться вектором + .

Если мы построим вектор + сначала по правилу параллелограмма, а потом по правилу треугольника, то получим, естественно, один и тот же вектор (точнее, два равных вектора – они будут сонаправлены и иметь одну и ту же длину). Какое из правил сложения векторов использовать – зависит от существа задачи. В некоторых задачах удобно использовать правило параллелограмма (например, если векторы изначально отложены от одной точки). В других задачах удобно использовать правило треугольника. Правило треугольника особенно удобно применять в случае, когда необходимо сложить более чем два вектора. Для сложения нескольких векторов от любой точки откладываем первый вектор, затем от конца полученного вектора откладываем второй вектор и так далее до последнего слагаемого вектора. Затем из начала первого вектора проводим вектор к концу последнего вектора. Полученный вектор и есть сумма всех векторов.

2. Разность векторов: − . Правило построения вектора − следующее. ­ Изодной точки откладываются оба вектора, тогда вектор разности соединяет конечные точки этих векторов и направлен в сторону вектора, из которого вычитают.

3. Умножение числа на вектор. Пусть - число, – вектор. Определим новый вектор (обозначим его ), который будем называть произведением числа на вектор : . Для того, чтобы полностью определить вектор, достаточно указать его длину (модуль) и направление. Определим эти характеристики для вектора : а) б) если > 0, то , а если < 0, то иначе .

Пример. Дан вектор

Построить векторы и .
Решение. Надо воспользоваться приведенным выше правилом построения вектора сначала для случая , а затем . Найдем длину и направление вектора . Так как в этом случае , то . Поскольку число положительное, то . Таким образом, вектор в 2 раза длиннее вектора и сонаправлен с ним. В случае вектора число , поэтому . Поскольку число отрицательное, то . Таким образом, вектор противоположно направлен вектору и в 2 раза его короче. Этих данных вполне достаточно, чтобы построить векторы и :

Как видно из определения, при умножении произвольного ненулевого вектора на различные числа все время будут получаться векторы, параллельные вектору . Если умножить вектор на все числа, то исчерпаются ли при этом все векторы, параллельные вектору ? Или же существует такой вектор , параллельный вектору , который не получается из вектора умножением на какое-либо число? Оказывается, что ответ на первый вопрос положителен (а потому на второй – отрицателен) – умножая вектор на всевозможные числа мы исчерпаем все векторы, ему параллельные. Это утверждает следующая

Теорема. Если , причем , то существует такое число , что .

Это утверждение часто используется в задачах следующего типа. Требуется найти вектор , параллельный заданному вектору и удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям. Тогда понятно, что искомый вектор надо искать в виде , после чего из дополнительных условий останется найти только одно число .

Вектор наз. противоположным вектору , если . Противоположный вектор обозначается: . Для получения противоположного вектора нужно поменять местами начальную и конечную точки вектора: . Действительно, сложив векторы и , например, по правилу треугольника, получим . Выполнено естественное равенство: . Действительно, легко по определению проверить, что умножение числа на вектор тоже сводится к смене местами начальной и конечной точки вектора.

Свойства операций над векторами

1. Коммутативность сложения: .

2. Ассоциативность сложения: .

3.

4.

5.

Эти свойства очень похожи на свойства одноименных операций над числами. Первое свойство говорит о том, что векторы можно складывать в любом порядке – будет получаться один и тот же вектор (точнее, два равных вектора – сонаправленные и одной длины). Второе свойство говорит о том, что три вектора можно складывать в любой последовательности. Последние два свойства говорят о том, что при действии с векторами можно раскрывать скобки (или выносить за скобки, если свойство читать справа налево) обычным образом. Эти свойства помогают преобразовывать сложные выражения с векторами механически по привычным правилам (вынесение за скобки, приведение подобных и т.д.).

Пример. В даны векторы и . Выразить через них векторы , , , где − середина стороны .

Решение. Вектор соединяет концы векторов и , исходящих из одной и той же точки . Тогда по определению разности векторов вектор есть разность этих векторов, причем вычитание проводится из вектора : . Поскольку вектор сонаправлен с вектором , но короче его в 2 раза ( − середина ), то = . По правилу треугольника .

 

Координаты вектора

При решении многих математических и практических задач в технических областях часто возникает потребность построения вектора, являющегося достаточно громоздкой комбинацией других векторов, которая включает их многократные сложения, вычитания и умножения на числа. Если выполнять эти операции по их определению, то придется строить соответствующие параллелограммы, треугольники, удлинять и укорачивать вектора, менять их направления и тому подобное. Это достаточно утомительно. Гораздо проще выполнять операции сложения, вычитания и умножения над числами. Нельзя ли заменить одно другим? Этот вопрос касается давней идеи − характеризовать геометрические объекты определенными аналитическими объектами (числами, формулами, алгебраическими выражениями и т.п.), после чего исследование свойств геометрических объектов достаточно громоздкими геометрическими методами можно заменить на определенные манипуляции с этими аналитическими объектами. Первый шаг в этом направлении был сделан, по-видимому, тогда, когда было введено понятие координат точек на плоскости и в пространстве. В этом случае простейший геометрический объект – точка – полностью характеризуется парой (в случае плоскости) или тройкой (в случае пространства) чисел, которые называются координатами этой точки. При этом положение точки однозначно определяет ее координаты и, наоборот, по координатам точки однозначно определяется ее положение. А поскольку единственной характеристикой точки является ее положение в пространстве, то можно сказать, координаты точки полностью ее определяют. Далее введем понятие координат вектора, которые помогут нам достаточно простыми методами исследовать свойства самих векторов и любых их комбинаций. Понятие координат вектора опирается на понятие координат точки, которое будем считать известным.

Координатами вектора называются координаты конечной его точки, если сам вектор отложить от начала координат (см. рисунок). По этому определению для нахождения координат произвольного вектора необходимо отложить этот вектор от начала координат и определить координаты , и конечной точки получившегося вектора. Тогда эти числа , и будут координатами исходного вектора . Обозначение координат вектора: . Таким образом, выражение обозначает вектор с координатами , и .

Векторов, конечно же, существует бесчисленное множество. Однако их исследование облегчает тот замечательный факт, что существует тройка таких фиксированных векторов, что любой вектор может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации этих трех векторов (под линейной комбинацией векторов понимается сумма этих векторов с какими-либо числовыми коэффициентами перед ними). Любая тройка векторов в пространстве, обладающая таким свойством, называется базисом в пространстве. В качестве такого базиса могут быть взяты, например, так называемые единичные векторы осей координат. Единичные векторы осей координат (орты) – векторы длины 1, направленные по осям координат и имеющие обозначение и (см. рисунок). Оказывается, что любой вектор действительно может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , причем в таком представлении в качестве числовых коэффициентов при и будут как раз координаты этого вектора. А именно, справедлива следующая

Теорема. Любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации ортов: . Обратно, если вектор представим в виде , то числа , и суть координаты вектора .

Пример. Найти координаты единичных векторов осей координат и .

Решение. Поскольку эти вектора уже отложены от начала координат, то остается определить координаты их конечных точек, которые (по определению) и будут координатами этих векторов. Глядя на рисунок выше, это несложно сделать: и .

Обозначение координат вектора буквами , и неудобно, если рассматриваются несколько векторов. Если вместе с вектором рассматривается, например, некоторый вектор , то для обозначения его координат надо вводить новые три буквы. Потом может возникнуть путаница − какие буквы относятся координатам какого вектора. Поэтому для удобства принято, что буква, обозначающая координаты вектора, совпадает с буквой, обозначающей сам вектор: , .

Оказывается, что координаты вектора полностью определяют все характеристики как самого вектора (длина, направление), так и характер взаимоотношений его с другими векторами (угол, параллельность, перпендикулярность и т.п.). Использование координат вектора значительно облегчает вычисление сложных комбинаций многих векторов, а также решение многих задач, связанных с векторами. Это основано на свойствах координат вектора, приводимых ниже.

 

Свойства координат вектора

Пусть известны координаты вектора и : , .

1. Длина вектора определяется по его координатам по следующей формуле:

(1)

2. Координаты суммы (разности) векторов получаются сложением (вычитанием) соответствующих координат:

(2)

3. При умножении числа на вектор каждая координата умножается на это число:

(3)

Пример. Даны векторы . Найти длину и координаты вектора .
Решение. По формуле (3): . По формуле (2): . Наконец, по формуле (1): .

Как видно из предыдущих свойств и приведенного примера, координаты вектора значительно облегчают операции с ними, позволяя заменить громоздкие геометрические построения обычными действиями с числами. Как же найти координаты вектора? Пока для этого у нас есть только определение. Согласно ему для вычисления координат вектора нужно проделать следующие операции: а) перенести вектор из исходного его положения в начало координат, б) определить координаты конечной точки получившегося вектора. Обе эти операции геометрические, а потому требуют каких-то геометрических построений. Нельзя ли при вычислении координат вектора обойтись без переноса его куда-либо, а использовать исходное положение вектора? Понятно, что можно, иначе этот вопрос даже не озвучивался бы. Но для этого надо знать исходное положение вектора, т.е. положение его начальной и конечной точки. Положение точки определяется ее координатами. Поэтому следующее свойство позволяет по известным координатам начальной и конечной точки вектора находить координаты его самого без тех хлопот, которые предписывает нахождение координат вектора по их определению.

4. Если известны координаты начальной и конечной точек вектора , то координаты самого вектора вычисляются по формуле:

(4)

Эти свойства позволяют находить расстояние между точками в пространстве, если определено положение этих точек.

Следствие. Расстояние между двумя точками :

(5) .

Эта формула легко доказывается, если учесть, что , также формулы (4) и (1).

Первое свойство определяет модуль вектора по его координатам, хотя было обещано, что координаты определяют однозначно все характеристики вектора. Кроме длины, вектор характеризуется и определенным направлением в пространстве. Как же по координатам вектора найти его направление? Для этого нужно сначала договориться, какими величинами может быть определено направление вектора. В качестве таковых могут быть выбраны углы и , которые вектор (отложенный от начала координат) составляет с осями координат (см. рисунок). По координатам вектора определяются не сами углы и , а их косинусы, которые называются направляющими косинусами вектора. По известным косинусам при необходимости можно найти и сами углы, используя соответствующие таблицы или калькулятор. Следующее свойство позволяет по координатам вектора найти его направляющие косинусы.

5. Если , то направляющие косинусы вектора вычисляются по его координатам по формулам:

(6) , , .

Из формулы (1) легко вывести, что для направляющих косинусов всегда выполняется соотношение: .

Пример. Даны точки . Найти длину и направляющие косинусы вектора .

Решение. Длина и направляющие косинусы вектора определяются по формулам (1) и (6), которые требуют знания координат вектора. Поэтому прежде всего найдем координаты вектора . Для начала по формуле (4) найдем координаты векторов и , поскольку известны координаты их конечных и начальных точек: , . Далее, по формуле (3) найдем координаты вектора . Наконец, по формуле (2) находим координаты искомого вектора . Теперь по формуле (1) длина вектора : . Теперь, зная координаты и длину вектора , по формулам (6) находим его направляющие косинусы: , , .

Как было объявлено выше, координаты должны определять однозначно не только характеристики самого вектора, но и определять взаимное расположение нескольких векторов. Выведем сейчас условие коллинеарности (т.е. параллельности) векторов через соотношения их координат. Пусть векторы и коллинеарны: || . В параграфе «Операции над векторами» приводилась теорема о том, что если , причем , то существует такое число , что . В этом случае по формуле (3) координаты вектора должны получаться из координат вектора умножением на число : . С другой стороны тот же вектор . Равные векторы имеют одинаковые координаты, а потому , и . Отсюда следует, что , и , а потому отношения координат коллинеарных векторов одинаковы. Отсюда следует

Критерий параллельности векторов. Векторы и коллинеарны только в том случае, если их координаты пропорциональны:

(7) .