Доказать, что порядок малости суммы равен наименьшему из порядков слагаемых.

Доказать, что если , и то то есть этот предел тоже существует, и равен К.

Определение: Односторонние пределы. Предел слева (справа).

Определение функции, непрерывной в точке.

Классификация: устранимый разрыв, разрыв 1 и 2 рода.

 

Определение производной.

Геометрический смысл производной.

Определение функции, дифференцируемой в точке.

Доказать, что если f есть функция одной переменной, то: функция дифференцируема в точке существует конечная производная в точке .

Для векторной функции физический смысл - скорость.

Доказать, что . Доказать, что . Доказать, что . Доказать, что

Доказать формулу: Доказать формулу: .

Определение частной производной, градиента.

Старшие производные. Приведите пример, вычислите все производные , , , .

Производная функции - матрица, её строение.

Вывести формулу полной производной = для композиции .

Определение производной по направлению.

Доказать формулу взаимосвязи производной по направлению и градиента .

Задачи в билеты - осень 2016 для групп 446

(до 1 декабря)

Задача. Дана матрица . Найти , .

Ответ. , .

 

Задача. Найти произведение , где

, , . Ответ. .

Задача. Найти параметр , при котором определитель равен 0:

. Ответ. .

Задача. Найти объём тетраэдра, вершины которого

A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4).

Ответ. Объём тетраэдра равен .

Задача. Вычислить определитель 4 порядка: Ответ. 0.

Задача. Вычислить определитель .

Ответ. 24.

 

Задача. Решить матричное уравнение , где . Ответ. .

Задача. Решить матричное уравнение .

Ответ. .

 

Задача. Доказать, чтоне существует различных обратной слева и справа, то есть, если и , то .

Задача. Найти параметр , при котором ранг матрицы

равен 2. Ответ. .

Задача. Доказать, что 3 столбец матрицы

является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации. Ответ. 1 и 2.

Задача. Найти ранг матрицы . Ответ. .

Задача. Найти такие параметры , что ранг матрицы равен 1:

Ответ. , .

Задача 8. Найти ранг матрицы Ответ. .

Элементы векторной алгебры.

Задача. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти . Ответ. .

Задача. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Ответ 92.

Задача. Вывод формулы проекции вектора на ось .

Задача 7. Найти смешанное произведение трёх векторов:

. Ответ. .

Задача. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

№ 1. Найти . Ответ. 1227.

№ 2. Найти | [a,b] |. Ответ. .

 

Системы линейных алгебраических уравнений.

Координаты в новом базисе.

Задача 9. Найти новые координаты вектора (5,4).

Ответ. Координаты в новом базисе (4,1).

Задача 10. Дан базис в пространстве: .

Найти новые координаты вектора (0,3,4).

Ответ. Координаты в новом базисе .

 

Неопределённые системы ().

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение .

Частные решения, например:

частное решение .

частное решение .

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение: .

Если задать, например, получим частное решение: .

 

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение . Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)... их бесконечно много.

 

Однородные системы.

Задача. Решить однородную систему:

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача. Решить однородную систему .

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача. Решить однородную систему

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: . ФСР:

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: .

ФСР: , , .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР:

Ответ. Общее решение , .

ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР

Ответ. Общее решение: , , ФСР: .