Докажите, что если система лзс, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Докажите, что если система ЛЗС, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Определение базиса и ранга системы векторов.

Придумайте пример системы векторов ранга 1.

Придумайте пример системы ранга 2 из 3 векторов.

Формулировка теоремы о ранге матрицы. (Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов)).

Что такое скалярное произведение и как его вычислить.

Что такое векторное произведение.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя.

Знать основные свойства скалярного и векторного произведений:

Как определяется смешанное произведение и метод его вычисления с помощью определителя.

Система линейных уравнений. Напишите какую-нибудь систему в обычной, матричной и векторной формах.

Что такое линейная однородная система.

Что такое основная и расширенная матрица системы.

Что такое совместная или несовместная система уравнений.

придумайте пример совместной (несовместной) системы уравнений.

Формулировка и доказательство теоремы Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.

Что такое определённая и неопределённая системы уравнений.

Придумайте примеры определённой и неопределённой систем уравнений.

Матричный метод решения систем с квадратной невырожденной матрицей: приведите какой-нибудь пример системы из 2 уравнений и решите матричным методом.

Вывод формул Крамера.

Придумайте какой-нибудь пример системы из 2 уравнений и решите по формулам Крамера.

Что такое метод Гаусса. Придумайте какой-нибудь простейший пример системы из 3 уравнений и покажите, как она решается методом Гаусса.

Что такое общее, частное решение. Придумайте пример системы из 2 уравнений с 3 неизвестными, найдите общее и частное решение.

Докажите теорему о наложении решений. Если даны 2 системы уравнений с одной и той же основной матрицей, отличающиеся лишь правой частью, - решение системы с правой частью , а вектор - решение соответствующей системы с правой частью , тогда является решением третьей системы, где правая часть .

Докажите, что линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.

 

Сколько существует линейно-независимых решений однородной системы с n неизвестными, ранг основной матрицы равен r?

Что такое ФСР (фундаментальная система решений) однородной системы уравнений, приведите какой-нибудь пример, напр, для системы из 2 уравнений с 3 неизвестными.

 

Вывод уравнения прямой на плоскости по точке и перпендикуляру.

Вывод уравнения плоскости по точке и перпендикуляру.

Элементы векторной алгебры.

Задача. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти . Ответ. .

Задача. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Ответ 92.

Задача. Вывод формулы проекции вектора на ось .

Задача 7. Найти смешанное произведение трёх векторов:

. Ответ. .

Задача. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

№ 1. Найти . Ответ. 1227.

№ 2. Найти | [a,b] |. Ответ. .

 

Координаты в новом базисе.

Задача 9. Найти новые координаты вектора (5,4).

Ответ. Координаты в новом базисе (4,1).

Задача 10. Дан базис в пространстве: .

Найти новые координаты вектора (0,3,4).

Ответ. Координаты в новом базисе .

 

Неопределённые системы ().

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение .

Частные решения, например:

частное решение .

частное решение .

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение: .

Если задать, например, получим частное решение: .

 

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение . Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)... их бесконечно много.

 

Однородные системы.

Задача. Решить однородную систему:

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача. Решить однородную систему .

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача. Решить однородную систему

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: . ФСР:

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: .

ФСР: , , .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР:

Ответ. Общее решение , .

ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР

Ответ. Общее решение: , , ФСР: .

Квадратичные формы.

Задача. Построить матрицу квадратичной формы:

.

Ответ. Матрица .

Задача. Квадратичную форму привести к главным осям.

Ответ. Кв.форма: , новый базис и .

Задача. Квадратичную форму привести к главным осям. Ответ. , новый базис и .

Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму:

Q(x,y) = 14 +24 +21 .

Ответ. 30 +5 , новый базис: и .

 

Аналитическая геометрия.

Прямая в пространстве

Задача. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему .

Ответ. ,

Задача. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей и .

Ответ. , .

Задача. Доказать, что прямая пересекает ось и найти точку пересечения.

Ответ. (0,0,1).

Задача. Найти угол между прямой

и плоскостью . Ответ. .

Задача. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , , и проходящей через вершину А.

Ответ. Канонические ,

параметрические .

 

Задача. Доказать, что две прямые в пространстве

и пересекаются, и найти точку пересечения.

Ответ. точка пересечения (1,1,2).

Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:

и скрещивающиеся, и найти расстояние между ними. Ответ. .

Задача. Доказать, что прямые и пересекаются и найти точку. Ответ. (3,7,-6).

Задача. Вычислить расстояние от точки (4,4,-2) до прямой в пространстве. Ответ. .

Задача. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С

до этой прямой (высота треугольника АВС). Ответ. .

Задача. Найти точку пересечения плоскости и прямой . Ответ. Точка пересечения .

Задача. Через точку и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти косинус тупого угла между этими плоскостями. Ответ.

Задача. Заданы 2 прямые в пространстве, одна - своими параметрическими уравнениями, а другая как пересечение пары плоскостей:

и .

Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их. Ответ. Плоскость .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр , полуоси и .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.

Ответ. Центр , полуоси 1 и 3.

Задача. Доказать, что однополостный гиперболоид содержит прямолинейные образующие.

Задача. Доказать, что кривая является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр (3,-1), полуоси 3 и .

 

«Введение в математический анализ. Множества и функции»

Задача. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:

. Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: .

 

Задача. Найти область определения функции:

. Ответ. .

Задача. Найти область определения функции:

.

Ответ. Кольцо .

Задача. Найти область определения функции 3 переменных:

. Ответ. Шар радиуса 1: .

 

Тема: Пределы функций.

Задача. Найти предел . Ответ. 0.

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. 27.

Задача. Найти предел . Ответ. 2.

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. 4

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Докажите, что если система ЛЗС, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Определение базиса и ранга системы векторов.

Придумайте пример системы векторов ранга 1.

Придумайте пример системы ранга 2 из 3 векторов.

Формулировка теоремы о ранге матрицы. (Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов)).

Что такое скалярное произведение и как его вычислить.

Что такое векторное произведение.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя.

Знать основные свойства скалярного и векторного произведений:

Как определяется смешанное произведение и метод его вычисления с помощью определителя.

Система линейных уравнений. Напишите какую-нибудь систему в обычной, матричной и векторной формах.

Что такое линейная однородная система.

Что такое основная и расширенная матрица системы.

Что такое совместная или несовместная система уравнений.

придумайте пример совместной (несовместной) системы уравнений.