Радіус стаціонарних орбіт електрона в атомі

В атомі від’ємно заряджений електрон притягається позитивно зарядженим ядром з силою Кулона

,

де ‑ заряд ядра, ‑ заряд електрона, ‑ відстань електрона від ядра.

Під дією цієї сили електрон має доцентрове прискорення

,

‑ маса електрона, ‑ орбітальна швидкість електрона.

Звідси отримується

,

Підставивши сюди величину , знайдену з другого постулату Бора

, отримуємо
, або	(5)

де

Радіуси орбіт зростають пропорційно квадратам цілих чисел.

Для атома водню () радіус першої орбіти електрона при називається першим борівським радіусом () і дорівнює

,

що близька до реальних розмірів атома водню.

Енергія електрона в атомі

Енергія електрона у воднеподібній системі рівна сумі його кінетичної і потенціальної енергій в електричному полі ядра.

,

Враховуючи, що

,

Отримуємо

,

Тоді .

Підставивши значення маємо:

,

(6)

Знак «‑» означає, що електрон знаходиться у зв’язаному стані.

Енергетичні стани атома утворюють послідовність енергетичних рівнів, що змінюються від значення , яке виражає номер енергетичного рівня атома.

При , атом водню має мінімальне енергію

, а при , .

Тобто енергія іонізації атома водню (енергія необхідна для відриву електрона з першої орбіти) , що співпадає з експериментальним значенням.

Спектри випромінювання атомів водню

Згідно третього постулату, енергія випромінювання фотона

,

Звідки частота випромінювання

,	(7)
де ‑ стала Рідберга	(8)

Враховуючи, що , де ‑ швидкість світла, ‑ довжина хвилі, маємо:

,
або	(9)
‑ стала Рідберга	(10)

Отримані значення співпадають з експериментальним (1).

Обмеженість теорії Бора

Розрахунки розмірів атомів водню (5), їх енергії іонізації, спектрів випромінювання (7), (9), значень сталих Рідберга (8) і (10) дають результати дуже близькі до їх експериментальних значень, що вказує на повну дієздатність теорії Бора.

Наряду з цим теорія Бора має ряд недоліків та обмежень:

‑ має внутрішні протиріччя (з одного боку, застосовує закои клаичної фізики, з іншого – ґрунтується на квантових постулатах);

‑ не може розрахувати інтенсивність спектральних ліній атома водню;

‑ не може пояснити спектри складних атомів.

 

Квантова теорія атомів

В квантовій механіці опис стану мікрооб’єкта здійснюється має статистично, має ймовірнісний характер.

Ймовірність знаходження частинки в момент часу в об’ємі з координатами , , визначається квадратом модуля хвильової функції (квадрат модуля амплітуди хвилі де Бройля).

, (або в сферичних координатах )

Ймовірність знаходження частинки в об’ємі

,

Значення ‑ функції знаходиться з стаціонарного рівняння Шредінгера

(11)

де ‑ повна енергія електрона в атомі.

‑ оператор Лапласа в сферичних координатах .

Розв’язок рівняння Шредінгера (11), відносно енергії атома , має вигляд:

,	(12)
де ‑ стала Рідберга	(13)

Квантування енергії випливає з самого розвязку.

Порівняння формули (12), (13) з відповідними формулами (6), (8) теорії Бора показує, що вони повністю співпадають.

Але квантова теорія більш глибока.

Дійсно, розв’язок рівняння Шредінгера, приводить до квантування не тільки енергії, а і трьох координат , , , що визначається трьома квантовими числами: головним квантовим числом , орбітальним і магнітним . Так як електрон має власний механічний момент імпульсу (спін), який також кантується, то вводять і спінове квантове число .

Головне квантове число ‑ виражає енергетичні рівні електрона в атомі і може набувати значень

Орбітальне квантове число визначає величину модуля вектора моменту імпульсу електрона в атомі при заданому .

де .

Магнітне квантове число визначає проекцію моменту імпульсу електрона на заданий напрямок (визначає положення вектора моменту імпульсу електрона.

,

Спінове квантове число визначає положення спіну електрона в атомі і може приймати тільки два значення .

Узагальнюючи експериментальні і теоретичні дані Паулі сформулював принцип (принцип Паулі) який завжди реалізується в мікроскопічних системах. В системі однакових ферміонів довільні два з них не можуть одночасно знаходитися в одному і тому ж стані, тобто не можуть мати однаковими всі чотири квантові числа.

Ферміони – частинки з пів цілим спіном (електрон, протон, нейтрон).

Сукупність електронів, що мають однакові значення квантового числа , утворює оболонку. Оболонка поділяється на під оболонок, які відрізняються значеннями орбітального квантового числа . Число під оболонок дорівнює , оскільки орбітальне квантове число набуває значень від 0 до .

Кількість електронів в підоболонці визначається магнітним і спіновим квантовими числами: максимальне число електронів в підоболонці з даним дорівнює .

Таким чином максимальна кількість електронів в оболонці може бути:

,

(14)

Розподіл електронів в оболонках і підоболонках приведемо на мал.

Мал.1 – Розподіл електронів в оболонках атомів

 

Для запису, оболонки позначають великими літерами

№
позначення оболонки	K	L	M	N	O	P

а під оболонки малими літерами

№
позначення оболонки	s	p	d	f	q

Згідно квантової теорії атома, квантові числа і принцип Паулі визначають положення електронів в атомах, їх енергетичні рівні, а значить їх спектри випромінювання і поглинання, хімічні властивості та структуру періодичної таблиці атомів

Експеримент повністю підтверджує теоретичні передбачення квантової теорії атомів.