Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теоремы о дисперсии случайной величины.
Теорема 6. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат. Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то
Доказательство. По определению дисперсии Следствие
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднеквадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (7.2.1) и учитывая, что среднеквадратическое положительная величина. Теорема 7. Дисперсия неслучайной величины равна нулю Если с — неслучайная величина, то , тогда
Теорема 8.Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин X,Y,Z к соответствующим центрированным величинам X,Y,Z. Вычитая почленно из равенства (7.2.5) равенство (7.2.6), имеем: По определению дисперсии что и требовалось доказать. Формула (7.2.4) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
где Кij — корреляционный момент величин Xi, Xj, знак i < j под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин (X1,Х2....., Хn). Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена. Формула (7.2.7) может быть записана еще в другом виде:
где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин (Х1,Х2,.... Хn), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии. Если все случайные величины (Х1,Х2,..., Хп), входящие в систему, некоррелированы (т. е. Кij = 0 при i j). формула (7.2.7) принимает вид:
т.е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий. Теорема 9. Дисперсия линейной конбинации случайных величин определяется соотношением
где Кij — корреляционный момент величин Xi, Xj. Доказательство. Введем обозначение: Тогда
Применяя к правой части выражения (7.2.11) формулу (7.2.7) для дисперсии суммы и учитывая, что D [ b ] = 0, получим:
где — корреляционный момент величин Yi, Yj. Вычислим этот момент. Имеем: аналогично Отсюда Подставляя это выражение в (7.2.12), приходим к формуле (7.2.10). В частном случае, когда все величины (Х1,Х2,..., Хn) некоррелированные, формула (7.2.10) принимает вид:
т.е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов). Теорема 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин определяется соотношением
Доказательство. Обозначим XY = Z. По определению дисперсии Так как величины X, Y независимы, mz = mxmy и При независимых X, У величины Х2, Y 2 тоже независимы следовательно, и
Но М [ X2 ]есть не что иное, как второй начальный момент величины X, и, следовательно, выражается через дисперсию:
аналогично
Подставляя выражения (7.2.16) и (7.2.17) в формулу (7.2.15) и приводя подобные члены, приходим к формуле (7.2.14). В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (7.2.14) принимает вид:
т.е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий. Теорема о линейной зависимости случайных величин. Теорема. Для линейной независимости двух случайных величин X и Y необходимо и достаточно, что бы . Необходимость. Пусть , тогда . Определим
откуда
Подсчитаем коэффициент корреляции , получим
Достаточность. Пусть . Для определенности положим Введем в рассмотрение случайную величину ; ; определим дисперсию случайной величины Z что и требовалось доказать. Раздел 8. Характеристические функции. Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью характеристических функций, теория которых развита в анализе и известна как преобразования Фурье.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 788; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.113.197 (0.007 с.) |