Кафедри водопостачання, водовідведення,

Кафедри водопостачання, водовідведення,

Раціонального використання і охорони водних ресурсів

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

ДО ВИКОНАННЯ

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНИХ РОБІТ

З МЕТРОЛОГІЇ

 

(для студентів усіх спеціальностей)

 

ЗАТВЕРДЖЕНО

На засіданні кафедри ВВ РВ і ОВР

Протокол № 4 від 30.11.2012 р.

На засіданні Ради Інституту міського будівництва та охорони навколишнього середовища

Протокол № 4 від 18.12.2012 р.

 

 

м. Макіївка – 2013 р.

УДК 53 (076. 5)

 

Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічних робіт з метрології (для студентів усіх спеціальностей)./ В.І. Нездоймінов, Л.Г. Зайченко, В.С. Рожков, М.М. Голоденко.– м. Макіївка: ДонНАБА, 2013. – 63 с.

 

 

Посібник містить короткі методичні вказівки з опрацювання результатів експерименту. Викладені рекомендації спираються на основні закони теорії ймовірностей та математичної статистики. Докладно розглянута послідовність дій, що дозволяють осмислено і раціонально виконувати всі етапи опрацювання і подання експериментальних даних, а також оцінити похибки результатів вимірів. Конкретні приклади обробки результатів прямих і непрямих вимірів з використанням табличного процесора MS Excel або калькулятора допоможуть студентам засвоїти послідовність дій, здійснюваних при опрацюванні експериментальних даних. Даються також методичні рекомендації з наближених обчислень. Наводяться завдання розрахунково-графічних робіт із тем: «Похибки прямих вимірювань», «Похибки непрямих вимірювань», «Апроксимація методом найменших квадратів». Кожне з трьох завдань містить 100 індивідуальних варіантів, номери яких відповідають двом останнім цифрам номера залікової книжки студента. У тексті посібника містяться питання самоконтролю та відповіді на них із коментарями.

Методичні вказівки призначені для студентів усіх спеціальностей, що вивчають курс метрології. Вони будуть також корисними для опрацювання результатів лабораторного експерименту при вивченні природничих та технічних дисциплін.

 

 

Рецензент: А.Я Найманов, д-р техн. наук, професор, (Донбаська національна академія будівництва і архітектури).

 

Відповідальний за випуск: Л.Г. Зайченко

 

 

 

 

1. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК

 

Типи похибок

Розрізнюють три типи похибок вимірів.

1) Грубі помилки або промахи – похибки , які істотно перевищують очікувані в умовах даного експерименту значення (у три і більше разів). Промах може бути спричинений використанням несправних приладів, неуважністю або неакуратністю експериментатора (недодержання правил роботи з приладом, неправильний відлік показів, помилки в записі результатів тощо). Виявивши промах, результат вимірювання слід відкинути. Виявленню промахів сприяє порівняння результатів вимірювань, отриманих різними експериментаторами.

2) Систематичні помилки викликаються факторами, що залишаються постійними (чи закономірно змінюються) при багаторазовому повторенні тих самих вимірів (тими ж приладами та однаковим методом). Вони у свою чергу поділяються на кілька груп.

а) Поправки – помилки, величина і знак яких досить точно відомі, тому їх можна легко врахувати або усунути. Наприклад, при зважуванні тіла на терезах слід враховувати виштовхувальну силу повітря, що діє на нього. Систематична похибка виникає також при зсуві нуля шкали вимірювального приладу. Тому, перш ніж почати вимірювання манометром або іншим стрілочним приладом, слід упевнитися, що стрілка стоїть на нулі, і при необхідності підправити положення стрілки коректором.

б) Приладові похибки – помилки відомого походження і відомої граничної величини, але невідомого знаку. Ці похибки обумовлені конструкцією приладу (тертям в осі стрілочного приладу, заокругленням, що його здійснюють цифрові або дискретні стрілочні прилади тощо). Приладова похибка за своєю природою є систематичною похибкою, але ані величина, ані знак її для даного конкретного приладу невідомі. Приладову похибку оцінюють у процесі випробувань великої серії однотипних приладів. Приладова (паспортна) похибка звичайно вказується в паспорті приладу. Вимірювальні прилади поділяються на вісім класів точності: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Число, що визначає клас точності, вказується на шкалі приладу. Воно являє собою приладову похибку, виражену у відсотках від діапазону значень шкали:

,

(2)

де і – мінімальне та максимальне значення шкали приладу. Найчастіше . Але в вакуум-манометрах, наприклад, мінімальне значення шкали може бути від’ємним: , . У частотомірах, що використовуються для вимірювань у міській електромережі, може бути , . Якщо клас точності приладу не вказаний, то дорівнює половині ціни найменшої поділки шкали (така вимога ставиться стандартами на розмітку шкали). Якщо шкала приладу (наприклад, штангенциркуля) має ноніус, то точність приладу визначається точністю ноніуса. Для цифрових приладів (наприклад, електронного секундоміра) приладова похибка дорівнює одиниці в останньому розряді числа. Також ціні найменшої поділки шкали дорівнює приладова похибка для вимірювальних приладів, у яких стрілка рухається стрибками, як наприклад у механічних секундомірів.

в) Методичні похибки можуть виникати через неможливість усунути або точно врахувати якісь фактори, що впливають на результат вимірювань. Так, наприклад, вимірюючи витрату за допомогою трикутного водозливу, ми користуємося емпіричною (заснованою на досліді і недостатньо обґрунтованою теоретично) формулою . До речі, більшість формул гідравліки є емпіричними, а отже вносять методичні похибки. У багатьох випадках методичні похибки виникають внаслідок використання наближених формул, що не враховують швидкісного напору. Методичні похибки можуть бути обумовлені також впливом на предмет виміру самого приладу (наприклад, термометр, занурений у посудину з невеликою кількістю рідини, змінює її температуру). Ще однією причиною методичних помилок може бути невизначеність параметрів самого вимірюваного об’єкта (наприклад, при вимірюванні діаметра труби, переріз якої ми вважаємо коловим і який насправді є еліптичним з невеликим ексцентриситетом, непомітним для ока). До методичних можна також віднести помилки при заокругленні чисельних значень величин, при використанні наближених методів обчислень, які не забезпечують необхідну точність.

3) Випадкові помилки спричиняються великою кількістю різних випадкових факторів, вплив яких на кожен окремий вимір різний і тому не може бути заздалегідь врахований. Це, наприклад, помилка паралаксу, яка виникає, коли око спостерігача розміщене не на перпендикулярі до шкали, що проходить через кінець стрілки приладу. Зрозуміло, що якщо дивитися на стрілку під різними кутами, то вона вказуватиме на різні поділки шкали. При зважуванні на терезах випадкові помилки спричиняються рухом повітря, тертям у підвісах терезів, вібрацією фундаменту будинку. Неконтрольованих факторів багато, вони мають різну природу і відрізняються інтенсивністю впливу на процес вимірювання. Треба вживати заходів задля усунення факторів, які дають найбільший внесок у випадкову помилку, але всі їх повністю усунути не вдасться. Так, для зменшення випадкових помилок при зважуванні аналітичні терези розміщують у корпусі, який захищає їх від рухів повітря, опора важеля виготовляється зі спеціальної сталі, агату або корунду, що зменшує тертя в підвісі, корпус терезів встановлюють на спеціальній підставці, яка амортизує коливання будинку. Випадкові похибки відхиляють результати окремих вимірів в обидва боки від істинного значення, і їхній вплив враховується математичним опрацюванням результатів серії вимірювань фізичної величини. Для оцінки випадкових похибок потрібне застосування методів математичної статистики, заснованої на законах теорії ймовірностей. Теорія похибок враховує лише випадкові похибки. У цій теорії, зокрема, доводиться, що якщо зробити ряд вимірів і знайти середнє арифметичне цього ряду, то випадкова помилка середнього значення буде меншою, ніж випадкова помилка результату окремого виміру. Таким чином, для зменшення впливу випадкових помилок на результат вимірювання, слід провести не одне, а декілька вимірювань.

ПИТАННЯ САМОКОНТРОЛЮ 3. Систематичною чи випадковою є похибка у визначенні моментів часу за допомогою маятникового годинника, обумовлена зміною температури у приміщенні?

Відповідь: СИСТЕМАТИЧНОЮ – дивись коментар 31, ВИПАДКОВОЮ – коментар 38.

 

ПИТАННЯ САМОКОНТРОЛЮ 4. У кінці пакувальної лінії цементного заводу продукція зважується на електронній вазі. Виявилося, що при проходженні повз цеха по залізничній колії потяга покази ваги дещо збільшуються або зменшуються. Яка похибка тут виникає: систематична чи випадкова?

Відповідь: СИСТЕМАТИЧНА – дивись коментар 45, ВИПАДКОВА – коментар 52.

Вилучення промахів

 

Критерій промаху

,

(10)

де - максимальне в серії окремих вимірювань відхилення результату від середнього значення.

Результат вимірювань є промахом і підлягає вилученню, якщо , де - максимальне можливе значення критерію промаху , яке виникає внаслідок статистичного розкиду при заданій надійній імовірності . Значення наведені в табл. 1.2.

 

Таблиця 1.2

Максимальне припустиме значення критерію промаху

	1,41	1,41	1,41		2,40	2,58	2,90
	1,64	1,69	1,72		2,43	2,60	2,93
	1,79	1,87	1,96		2,45	2,62	2,96
	1,89	2,00	2,13		2,47	2,64	2,98
	1,97	2,09	2,26		2,49	2,66	3,01
	2,04	2,17	2,37		2,50	2,68	3,03
	2,10	2,24	2,46		2,52	2,70	3,05
	2,15	2,29	2,54		2,54	2,72	3,07
	2,19	2,34	2,61		2,55	2,73	3,09
	2,23	2,39	2,66		2,57	2,75	3,11
	2,26	2,43	2,71		2,58	2,76	3,12
	2,30	2,46	2,76		2,60	2,78	3,14
	2,33	2,49	2,80		2,61	2,79	3,16
	2,35	2,52	2,84		2,72	2,90	3,28
	2,38	2,55	2,87		2,80	2,99	3,37

 

Прямі виміри

Непрямі виміри

Інколи ми не можемо виміряти величину безпосередньо, але знаємо, що її можна розрахувати за формулою , де - величини, які виміряти безпосередньо можна. Умови експерименту з вимірювання величин можуть бути відтворюваними і не відтворюваними. У першому випадку по раз вимірюємо кожну з величин , у другому - виконуємо експеримент раз, кожного разу отримуючи незалежний набір величин . Розглянемо, наприклад, визначення коефіцієнта динамічної в’язкості рідини за швидкістю падіння в ній кульки. Умови експерименту є відтворюваними, якщо ми кілька разів кидаємо одну й ту саму кульку, ділянка, час проходження якої вимірюється, теж одна й та сама. І умови є невідтворюваними, якщо при кожному вимірюванні кидаємо кульку іншого діаметра.

 

Тест самоконтролю

1)	У довіднику наводиться таке значення універсальної газової сталої: . Вказаний довірчий інтервал відповідає надійній імовірності

 

0,683 - коментар 2;	0,90 - коментар 10;
0,95 - коментар 18;	0,997 - коментар 25.

 

2)	Виконано 200 серій вимірювань. У деяких із них генеральне середнє не потрапило в довірчий інтервал. При надійній імовірності 0,90 таких серій має бути приблизно

 

10 - коментар 39;	20 - коментар 46;
180 - коментар 53;	190 - коментар 3.

 

3)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Середнє значення вибіркової сукупності дорівнює

 

3 - коментар 19;	4 - коментар 26;
4,5 - коментар 33;	5 - коментар 40.

 

4)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Дисперсія вибірки дорівнює

 

0,707 - коментар 54;	1,41 - коментар 4;
1,73 - коментар 12;	2 - коментар 20.

 

5)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Стандартне відхилення дорівнює

 

0,707 - коментар 34;	1,41 - коментар 41;
1,73 - коментар 48;	2 - коментар 55.

 

6)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Стандартна похибка середнього дорівнює

 

 

0,707 - коментар 13;	1,41 - коментар 21;
1,73 - коментар 28;	2 - коментар 35.

 

7)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Випадкова похибка при надійній імовірності 0,90 дорівнює

 

1,66 - коментар 49;	2,66 - коментар 56;
3,66 - коментар 6;	4,66 - коментар 14.

 

8)	У серії з чотирьох вимірювань одержані значення: 3, 3, 4, 6. Максимальне можливе значення критерію промаху при надійній імовірності 0,90 дорівнює

 

1,41 - коментар 29;	1,64 - коментар 36;
1,69 - коментар 43;	1,72 - коментар 50.

 

9)	Паспортна похибка приладу розраховується для надійної ймовірності

 

0,683 - коментар 71;	0,95 - коментар 15;
0,99 - коментар 23;	0,997 - коментар 30.

 

10)	На шкалі міліамперметра нанесені поділки від 0 до 200. Клас точності приладу 0,5. Паспортна похибка приладу в міліамперах дорівнює

 

0,2 - коментар 44;	0,5 - коментар 51;
1 - коментар 58;	2 - коментар 8.

 

Завдання

У табл. 6.5 задані результати окремих вимірювань , клас точності приладу , мінімальне та максимальне значення шкали приладу, потрібна надійна ймовірність для 100 варіантів. Номер Вашого варіанту відповідає двом останнім цифрам номера залікової книжки. Перевірте ряд значень вашого варіанту на наявність промаху. Після вилучення промаху, якщо він є, знайдіть середнє значення вимірюваної величини, стандартну похибку окремого вимірювання , випадкову похибку середнього значення вимірюваної величини, паспортну похибку приладу , похибку приладу , граничну похибку і відносну граничну похибку середнього значення вимірюваної величини. Побудуйте діаграму розподілу похибок окремих вимірів за зразком рис. 6.1.

Приклад виконання завдання

 

Дані, за якими виконуються розрахунки, наведені в табл. 6.1, кінцеві результати розрахунків заносяться до табл. 6.2

 

Таблиця 6.1

Варіант
*							0,1	-100		0,90

 

Таблиця 6.2

88,8	5,31	5,06	0,2	0,109	5,2	5,9

 

Виконуємо обчислення і заносимо результати до табл. 6.3

 

Таблиця 6.3

	11,5	19,5	66,5	5,5	16,5	13,5	-
	132,25	380,25	4422,25	30,25	272,25	182,25	5419,5

 

Знаходимо середнє значення вимірюваної величини

.

Знаходимо стандартну похибку окремого вимірювання

.

Знаходимо критерій промаху для максимального значення

.

З табл. 1.2 для , знаходимо максимальне припустиме значення критерію промаху

.

Оскільки для критерій промаху , то значення є промахом і підлягає вилученню.

Виконуємо обчислення для решти значень і заносимо результати до табл. 6.4

 

Таблиця 6.4

	1,8	6,2	7,8	3,2	0,2	-
	3,24	38,44	60,84	10,24	0,04	112,8

 

Знаходимо середнє значення вимірюваної величини

.

Знаходимо стандартну похибку окремого вимірювання

.

Знаходимо критерій промаху для максимального відхилення

.

З табл. 1.2 для , знаходимо максимальне значення критерію промаху .

Оскільки для значення , що має максимальне відхилення , критерій промаху , то серія залишених результатів вимірювань не містить промахів.

З табл. 1.1 для , знаходимо коефіцієнт Стьюдента .

Знаходимо випадкову похибку середнього значення вимірюваної величини

.

Знаходимо паспортну похибку приладу

.

Знаходимо похибку приладу, перераховану на надійну ймовірність ,

.

Гранична похибка середнього значення вимірюваної величини

.

Результат вимірювань із надійною ймовірністю подаємо у вигляді:

.

Відносна гранична похибка середнього значення вимірюваної величини

.

Будуємо діаграму розподілу похибок окремих вимірів (рис. 6.1).

 

Рис. 6.1. Розподіл похибок окремих вимірів.

Таблиця 6.5

Похибки прямих вимірювань

Варіант
							0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5	-25		0,90
						–	1,0	-50		0,95
							0,1	-25		0,90
							0,2			0,95
							0,5			0,90
						–	1,0			0,95
					–	–	0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5			0,90
						–	1,0			0,95
							0,1			0,90
							0,2			0,95
							0,5			0,90
						–	1,0			0,95
					–	–	0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5			0,90
						–	1,0			0,95
							0,1			0,90
							0,2	-35		0,95
							0,5			0,90
						–	1,0			0,95
					–	–	0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5			0,90
						–	1,0			0,95
							0,1			0,90
	-75	-72	-73	-72	-74		0,2	-100		0,95

 

 

Продовження таблиці 6.5

Похибки прямих вимірювань

Варіант
							0,1			0,90
						–	0,2	-25		0,95
					–	–	0,5	-25		0,90
							1,0			0,95
							0,1	-25		0,90
							0,2			0,95
						–	0,5			0,90
					–	–	1,0			0,95
					–	–	0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5			0,90
					–	–	1,0			0,95
						–	0,1			0,90
							0,2			0,95
							0,5			0,90
							1,0			0,95
						–	0,1			0,90
					–	–	0,2	-25		0,95
					–	–	0,5			0,90
					–	–	1,0			0,95
						–	0,1			0,90
							0,2			0,95
							0,5			0,90
							1,0			0,95
						–	0,1			0,90
					–	–	0,2			0,95
					–	–	0,5			0,90
				-25			0,1	-50		0,95
						–	0,1			0,90
					–	–	0.2			0,95

 

 

Продовження таблиці 6.5

Похибки прямих вимірювань