Операционный метод решения систем линейных уравнений.

, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется

,) Таким образом. операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции – оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) – действительная функция действительного переменного t (под t понимается время или координата).

Определение. Функция f(t) называется оригинало м, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) = 0 при t < 0;

2) f (t) – кусочно-непрерывная при t 0;

3) существуют такие числа M > 0 и S₀ 0, что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Число S₀ называется показателем роста f(t).

Условия (1-3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы. Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого времени; удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них S₀=0), степенные (n > 0) и другие. Для функций вида , условие 3 не выполняется; не является оригиналом и функция f(t)= - для неене выполняется 2-е условие.

Определение. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного р= , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t) ÷ F(p).

Принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими.

Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной , определяемая несобственным интегралом

. (1)

Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).

Оригиналом называется функция вещественной переменной, которая удовлетворяет условиям:

1) при ,

2) кусочно-непрерывна при ; (2)

3) при любом, где некоторые постоянные числа. Число называется п оказателем роста функции или абсциссой сходимости интеграла Лапласа.

Функция может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода.

Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению. Соответствие между и записывается в виде .

Пример: решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях x(0)=2, y(0)=0.

Решение:

пусть x(t)≑X(p)=X, y(t)≑Y(p)=Y. Тогда

Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид:

Решая эту систему уже алгебраических уравнений, находим:

X(p)= ,

Y(p)=

Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим:

X(p)= ,

Y(p)= .

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

x(t)=

y(t)= .

 

,

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия оригинала и изображения.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — метод математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи.

. В основе этого метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) другими функциями (изображениями), получаемыми из первых по определенным правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной преобразованием Лапласа), причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой задаче решения алгебраического уравнения; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал — изображение».

Для развития операционного исчисления большое значение имели работы О. Хевисайда. Пользуясь этим методом, Хевисайд решил ряд задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа.