Линейные Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (7)

Где и - заданные непрерывные функции.

Замена , где - новая неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:

. (8) Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .

Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида где a (x) и b (x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений: · Использование интегрирующего множителя; · Метод вариации постоянной. . Метод вариации постоянной Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C (x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C (x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Задача Коши Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y (x 0) = y 0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y (x 0) = y 0.

Уравнения Бернулли и Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:

, (9)

Где и - заданные непрерывные функции, .

Замена , где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:

. (10)

Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .

Задание 1. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:

И разделим переменные:

. (11)

Интегрируем (11):

,

и получаем общее решение данного уравнения:

.