Лема про три границі. Граничні переходи у нерівностях.

Теорема.

1. Нехай і - збіжні числові послідовності з границями А і В відповідно.

Якщо А<В, то .

2. Hexaй числові послідовності , , такі, що . Якщо , мають одну границю , то збігається і має цю ж границю.

Доведення. 2)

Нехай , тоді

Отже, тобто – границя послідовності { _n}.

Наслідки

Нехай і - числові послідовності і =А

1. Якщо

2. Якщо

3. Якщо

4. Якщо

Приклад. Довести

Доведення.

.

За лемою про три границі

4. Топологічні добутки. Послідовності в Rⁿ.

Повернемося до послідовностей у загальному вигляді.

Розглянемо ситуацію у метричних просторах, хоча усе зазначене нижче справедливе і у випадку довільних топологічних просторів.

Нехай - метрики в Е₁ і Е₂. На множині Е₁ Е₂ за допомогою формули можна ввести метрику.

Приклад.

На маємо:

На маємо:

Теорема. Для того, щоб послідовність ( ₁, ₁),...( _n, _n),... з Е₁ Е₂ була збіжною в точці (, b) у просторі Е₁ Е₂ необхідно і достатньо, щоб послідовність була збіжною в Е₁ до , a була збіжною у Е₂ до b.

Доведення.
Необхідність. Використовуючи нерівність , а також збіжність ( _n, _n) до (, b) (згідно з означенням границі).

Достатність випливає із збіжності і нерівності

 

Зауваження. Теорема справедлива для добутку n метричних просторів .

 

Приклад. Якщо з природною метрикою, то за даною теоремою маємо, що послідовність збігається до точки ( ₁,…, _n) тоді і тільки тоді, коли в .

Практичне заняття №9

Тема: Границя послідовності.

Необхідні відомості:

1. Визначення границі послідовності.

2. Властивості границь послідовностей.

3. Граничні переходи в нерівностях.

4. Властивості монотонних послідовностей.

 

Задачі:

1.1.Довести ; ;

1.2.Довести, що послідовність розбігається

1.3.Довести збіжність послідовностей (використовувати критерій Коші).

2. Використовуючи властивості граничних переходів розв’язати наступні задачі:

2.1.Довести (використовувати нерівність Бернуллі); (використовувати оцінку за допомогою середнього арифметичного).

2.2.Знайти (оцінити знизу та зверху дріб).

2.3.Нехай - послідовність чисел така, що . Довести, що

2.4.Розв’язати рівняння

2.5.Довести нерівність

 

Завдання для самостійної роботи.

Довести:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. Знайти

9. Знайти , - будь-яке число.

10. Нехай та для будь-якого . Довести, що

11. Довести збіжність послідовності

12. Довести збіжність послідовності (використовувати ).

13. Довести, що послідовність розбігається.

Довести, що послідовності мають границю:

14.

15.

16.

17.Знайти границю послідовності

18.Знайти значення виразу

19.Нехай . Довести, що існує і знайти його.

20.Довести збіжність та знайти границю

21.Довести, що монотонна послідовність буде збіжною, якщо збігається деяка її підпослідовність.

22.Довести, що якщо , то

23.Довести, що якщо послідовність не обмежена, то існує підпослідовність така, що .

24.Якщо , то . Довести за допомогою критерію Коші.

25.Довести .

 

Практичне заняття №10

Тема: Обчислення границі послідовності. Число е.

Необхідні відомості: 1. Властивості границі суми, добутку та ділення.

2. Число е.

3. Границя в прямому добутку метричних просторів.

Задачі

1. Знайти границю:

1.1. ; .

1.2.

1.3. ; ;

1.4.

1.5. (звернути добуток)

1.6.

2. Знайти границі, використовуючи число е:

2.1. ;

2.2. .

3. Знайти границі послідовностей

3.1.

3.2.

Завдання для самостійної роботи:

Довести:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. , _n – арифметична прогресія з різницею d 0.

12. _n>0, _n – арифметична прогресія.

13.

14.

15. При яких а послідовність - n має границю? Чому вона дорівнює?

16.

17.

18.

19.

20.

21. Нехай . Знайти

22.

23.

24.

25.

Лекція №11

Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі.

Границя функції. Означення по Гейне і Коші.

Нехай : Х F, де X, F - топологічні простори, а і точка х₀ - гранична для А.

Означення 1 (топологічне). Точка у₀ є F - границя функції () при ₀ по множині А, якщо для будь-якого околу V точки у₀ в F існує окіл U точки ₀ в X такий, що . Позначаємо: у₀=

Приклад.

1. Якщо Х=R, A=N, ₀=+ , (n)= _n, то у₀= - границя послідовності

2. () - для будь-якого ₀ і А

Нехай X - метризований простір, тоді означення 1 буде еквівалентне означенню границі функції по Гейне.

Означення 2. Точка у₀ F - границя функції () при ₀ по множині А ( ₀ - гранична точка А), якщо для будь-якої послідовності { _n}: _{n о}, _n А, маємо в F.

Доведемо еквівалентність означень.

Означення 2 випливає з означення 1 (навіть якщо X просто топологічний простір). Дійсно, нехай означення 1 виконується. Якщо , то для U з означення 1

, тобто

Доведемо, що означення 1 випливає з означення 2. Нехай виконується означення 2. Припустимо, що означення 1 не виконується, тобто . Візьмемо за U шари , тоді (перетин не порожній, так як точка х₀ гранична для А). Одержали суперечність: х_n х₀, х_n А, (x_n) , яка і доводить твердження.

Розглянемо ситуацію, коли X і F - метричні простори з метриками і відповідно. Означення 1 у цьому випадку прийме вигляд:

Означення (по Коші). Точка у₀ F називається границею () при ₀ по А, якщо

таке що для якого виконується умова виконується нерівність

.

Означення по Коші та по Гейне еквівалентні (у зв’язку з вище доведеним).

Приклад.

1. E=F=R

, означає, що таке що , для якого виконується умова , виконується нерівність .

Означення. ₀ називається границею функції () при ₀ з права по А, якщо

такого що виконується нерівність .

Позначимо

Означення. ₀ називається границею функції () при ₀ зліва по А, якщо

такого що виконується нерівність .

Позначимо

З означень границі та границь справа та зліва випливає, що границя існує тоді і тільки тоді, коли існують границі з права та зліва, що рівні між собою.

Крім того, множину А, нижче, не будемо вказувати, якщо вона є зрозумілою з контексту або співпадає з областю визначення функції.

2. Довести

Знайдемо для яких буде виконуватися нерівність (для довільного ).

Припустимо, що , тоді або і . Отже

. Якщо , то . Візьмемо , тоді якщо , отже означення виконується, що і треба було довести.

3. Функція не має границі при . Дійсно якщо розглянути послідовності , то обидві послідовності збігаються до 0, однак отже означення Гейне не виконується.

4. ,

Число y₀ - границя по множині , якщо , такого, що виконується

.

Зазначимо, що границя не залежить від того по якому шляху рухається до граничної точки ₀.

5. Нехай Е=R², a F= з відповідними метриками

Розглянемо границю при (, ) (0,0).

При =0 і має границю 0 при (0, ) (0,0).

При =0 і має границю 0 при (,0) (0,0).

При = і має границю при (, ) (0,0).

Тобто в залежності від того по якому шляху точка (, ) прямує до (0,0) отримуємо різні значення границі. Отже не має границі при (, ) (0,0).

 

2. Чудові границі:

1. Перша чудова границя:

Доведення. Оскільки вираз парний, то можливо припустити що >0.

S_∆AOC<S_{сектораAOC}<S_∆AOB,

S_∆AOC=

S_{сектораAOC}= , (коло R=1),

S_∆AOB=

Отримали: поділив нерівність на sin отримуємо або

(Довести самостійно з означення).

Тоді за лемою про три границі .

2. Друга чудова границя:

Доведення. Покажемо за Гейне:

Нехай , така що . Для кожного n k_n N таке, що

(як підпослідовність ) і

Звідси, , тобто за Гейне .

Наведемо ще деякі означення границь.

Означення границь для випадку Е = F = R¹:

1.

2.

3.

Зауваження: Самостійно сформулювати означення границь для випадку Е= F= R¹ при

 

Лекція №12

Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і

1. Властивості границь функцій.

Теорема 1. Нехай : X F, X, F - топологічні простори, якщо , то ₀ - єдине.

(Довести самостійно, подібно аналогічній властивості для послідовностей).

Теорема 2. Нехай : X F, X - топологічний простір, F - метризоване, і в точці _о має границю ₀ по А, тоді існує окіл U точки о такий, що множина - обмежена.

Доведення. Візьмемо в якості V (згідно означення 1 лекції №11) кулю з центром у₀ довільного радіуса R, тоді згідно з означенням границі існує окіл U точки ₀ такий, що належить цій кулі, тобто обмежена.

Приклад. . Якщо в х₀ має границю, то .

Теорема 3. (про границю складної функції). Нехай : X F, g: X G де X, F, G - топологічні простори. Якщо в точці x₀ має границю y₀ F, a g в точці у₀ має границю z₀ G, то складна функція в точці x₀ має границю z₀.

Доведення. Для будь-якого окола V точки z₀, , існує окіл , що . Для окіл , що для будь-якого околу окіл х₀ такий, що , тобто означення границі виконується.

Розглянемо тепер більш конкретну ситуацію.

Теорема 4. Нехай : X R¹, g: X R¹ (X - метричний) і мають скінчені границі в x_о причому

мають скінчені границі при х х₀ відповідно А В, ,

Доведення. Використаємо означення Гейне: для довільної послідовності , маємо за властивостями числових послідовностей, що і потрібно було довести. (Аналогічно доводяться і інші твердження).

Означення. Якщо : X R¹, де Х - метризований, то будемо говорити, що нескінченно мала величина при , якщо

Кінцева сума нескінченно малих - нескінченно мала; добуток нескінченно малої на обмежену функцію - нескінченно мала (за властивостями границь).

Означення. Дві нескінченно малі при називаються еквівалентними, якщо

Наприклад, sinх~х при .

Означення. - нескінченно мала більш високого порядку ніж () при , якщо

Наприклад. g()= , ()= , тоді g()=o( ()) при .

Теорема 5. Нехай :X R¹, g: X R¹ (X - метричний) і для кожного , тоді

Якщо : X R¹, g: X R¹, q:X R¹ і для кожного та існують

то існує границя g(x) при і

Доведення, як і властивість 4, за допомогою означення Гейне, та відповідної властивості послідовності.

Теорема 6. Нехай :E R¹, де Е , а зростаюча на Е. Для того щоб мала границю при ( гранична для Е), необхідно і достатньо, щоб була обмежена зверху. Для того, щоб вона мала границю при ( ₁ гранична для Е), необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена знизу.

Доведення провести самостійно.

2. Неперервність. Розриви.

Враховуючи означення неперервності (див. лекцію №7) і границі функції можна сформулювати висновок.

Означення. Функція ():X F неперервна в точці ₀ X, якщо

З властивостей границь випливає, що всі ці властивості виконуються для неперервних функцій в точці або на всій множині X.

Зупинимось на властивості 4.

Якщо , g:X R¹, де X - метричний простір, то з неперервності в ₀ функції i g - неперервні в ₀. Те ж саме можна сказати відносно складної функції.

Нехай - топологічні простори. Якщо в точці ₀ неперервна, а g неперервна в точці , то складна функція неперервна в точці ₀.

Приклад. З властивостей неперервних функцій та неперервності функцій , маємо

1. неперервна в неперервна в усіх точках, в яких знаменник не перетворюється в 0.

2. неперервна в - неперервне за виключенням точок у яких знаменник перетворюється в 0 (Q() – многочлен двох змінних).

Зупинимося на функціях :Rⁿ R¹. Як і для границі, з неперервності розділеної по змінним, не слідує неперервність взагалі. Наприклад,

по кожній змінній неперервна в (0,0), але границі не має, тобто неперервною не є.

Означення. Якщо рівність ( ₀) = порушується, то говорять про розрив в точці ₀.

Нехай (): R¹→ R¹, тоді говорять про розриви:

1. існує і скінчений, але () не визначена в ₀ - розрив, що усувається.

2. Розриви 1-го роду зліва (зправa). Якщо = існує, але

3. Розриви 2-го роду зліва (зправa). Якщо , або не існує, або нескінченний.

Теорема. Монотонна функція має розриви тільки 1-го роду, причому не більше ніж злічене число.

Доведення спирається на теорему про границю монотонної функції. Довести самостійно.

 

Практичне заняття №11

Тема: Границя функції

Основні відомості:

1. Визначення границі функції по Коші та Гейне.