Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології.

Еквівалентні метрики і норми,

Для означення систем відкритих і замкнених множин, околів, неперервних функцій не обов'язково мати метрику. Все це можна визначити виходячи з систем відкритих множини. Може статися, що дві різні метрики визначають одну і ту ж систему відкритих множин, тоді вони визначають однакові системи замкнених множин, околів і т.д.

Наприклад, (х,у) і 2 (х,у), визначені на довільній множині Е.

Означення. Дві метрики у просторі Е називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну і ту ж систему відкритих множин (топологію).

Це означення можна перефразувати слідуючим чином, тотожне відображення Е (наділене однією метрикою) на Е (наділене другою метрикою) є гомеоморфізмом.

У векторному просторі дві норми еквівалентні, якщо еквівалентні відповідні їм метрики.

Теорема. Дві норми || ||₁ і || ||₂ на деякому векторному просторі Е еквівалентні тоді і тільки тоді, коли існують такі додатні сталі k₁, k₂, що мають місце нерівності:

Доведення.

Необхідність. Позначимо через B₁(R) (B₂ (R)) замкнену кулю з центром в точці 0 радіуса R у розумінні || ||₁ (|| ||₂). Нехай норми еквівалентні. Тоді В₁(1) - окіл 0 одночасно в обох метриках, отже таке, що В₁(1) .

За допомогою гомотетії з коефіцієнтом k₂R отримуємо включення , що означає: з нерівності || х||₂ R . Так як перша нерівність справедлива для ||х||₂=R, то друга дає при цьому . Міняючи місцями || ||₁ і || ||₂ одержимо другу нерівність.

Достатність. Якщо умова теореми виконується, то із нерівності ||х||₂ і другої нерівності випливає тобто . Звідси випливає, що будь-яка куля у першій метриці заздалегідь містить деяку кулю у другій метриці, і навпаки. За допомогою паралельного перенесення включення переносяться на кулі з довільним центром.

Нехай А Е відкрита у розумінні метрики 1, тоді але тоді слідує: , тобто А - окіл кожної своєї точки у розумінні метрики , тобто відкрита у другій метриці. Аналогічно в обернену сторону, якщо поміняти і місцями і скористатися першою нерівністю. Таким чином обидві метрики задають одну і ту ж систему відкритих множин.

Наслідок. Усі три норми, визначені вище у Rⁿ - еквівалентні. Довести самостійно.

Має місце більш загальне твердження.

Теорема. В скінченовимірному векторному просторі над полем дійсних або комплексних чисел будь-які дві норми еквівалентні. Існує єдина система відкритих множин для будь-яких введених у ньому норм.

Зауваження.

1. Ця властивість не переноситься на нескінченновимірні векторні простори.

2. Якщо властивість топологічна (тобто залежить від системи відкритих множин, а не від метрики) у нормованому скінченновимірному просторі, то в незалежності від того, яку конкретну норму обрано, вона виконується.

Топологічні простори.

Існує два види властивостей: метричні, які залежать від метрики; топологічні, що не залежать від метрики, а залежать тільки від системи відкритих і замкнених множин. Зрозуміло, що топологію можна ввести, не використовуючи метрику.

Означення. Е називається топологічним простором, якщо в ньому виділено клас підмножин, відкритих у цій топології, які задовольняють властивостям відкритих множин (властивості 1-3 відкритих множин лекція №6).

Нижче ми будемо допускати (без додаткових застережень), що система відкритих множин у просторі Е задовольняє також аксіомі Хаусдорфа. Ця вимога завжди буде виконуватися у прикладах, що будуть розглядатися.

Приклад. E=R¹ відкриті множини – множини, що за допомогою властивостей 1-3 побудовані з будь-яких інтервалів (a, b) R¹.

Отже, відкрита множина в R¹, буде представлятися як об’єднання, не більше ніж зліченної кількості, попарно не перетинаючих інтервалів (довести самостійно або знайти доведення у літературі).

Нормовані простори є метричними, а ці – топологічними просторами.

Топологічний простір - метризований, якщо існує метрика, що породжує топологію. В основному ми будемо мати справу з метризованими просторами (R¹, Rⁿ, функційні простори).

Нехай Е - топологічний простір, a F Е. У множині F можна ввести топологію, приймаючи за відкриті множини в F перетини F з відкритими множинами у розумінні Е. У цьому випадку F - топологічний підпростір Е, топологія в F, індукована топологією Е.

Приклад. Е = R¹, F= , відкриті множини в F, це множини побудовані за допомогою властивостей 1-3 з множин виду , де (,b) будь-який інтервал з R¹.

Зауважимо, що, наприклад, відкрита множина у F - , з точки зору Е, не є відкрита множина.

 

 

Практичне заняття № 8

Тема: Елементи топології

Необхідні відомості: 1. Визначення метричного і нормованого просторів

2. Визначення відкритих і замкнутих множин і їхньої властивості.

3. Еквівалентність метрик і норм.

Задачі

1. Метричні і нормовані простори

1.1 ρ₁ (x,y) = arctg│x-y│ на R¹ – метрика?

1.2. Чи буде метричним простором сімейство всіх не порожніх підмножин метричного простору Х, якщо відстані між множинами Е Х и F Х визначити рівністю ρ (Е, F) = ρ (x,y)?

1.3 Нехай Х – множина усіх точок окружності С; приймемо за відстань між точками х є Х і у є Х, візьмемо довжину найкоротшої дуги окружності С, що з'єднує х і у. Чи є ця відстань метрикою?

1.4. Показати, що Rⁿ є векторним простором над полем дійсних чисел. Чи є функція нормою в Rⁿ?

1.5. Нехай Е - нормований простір. Довести, що для будь-яких х і у.

1.6. Привести приклад метрики в R¹ не володіє властивостями достатніми для визначення її нормою.

2. Відкриті і замкнуті множини і їхні властивості. Еквівалентні метрики і норми.

2.1. Побудувати ε – куля з центром у точці (0,0) у просторі R² з метрикою

ρ((,у), ( ₁,у₁)) =

2.2. Чи буде відкритою множина, яка містить кінцеве число точок у просторі R².

2.3. Довести, що внутрішність множини – відкрита множина.

2.4. Довести властивості відкритих і замкнутих множин.

2.5. Побудувати множину Е, для якої Е' Ø, а Е''= Ø.

2.6. Довести, що Е' – завжди замкнуто (для будь-якого Е).

2.7. Нехай на Е задані метрики ρ₁ і ρ₂. Якщо існують k, k₁>0 такі, що для будь-яких х, у є Е виконуються нерівності:

ρ₁(х,у) k₁ρ₂(х,у)

ρ₂(х,у) kρ₁(х,у),

то метрики еквівалентні.

2.8. Довести еквівалентність у R³ норм , , .

Задачі для самостійного рішення.

1. Нехай Х=R¹, ρ (x, y)= sin2(x-y). Чи є (х, ρ) метричним простором?

2. Нехай Х=R¹, ρ (x, y)= . Чи є (х, ρ) метричним простором?

3. Нехай Х – довільна не порожня множина ρ (x, y)=1 при , ρ (x, y)=0 при х = у. Чи буде (Х, ρ) метричним простором. Чи можна метрику ρ задати нормою?

4. Нехай Х – множина усіх прямих на площині, що не проходять через початок координат. Визначите метрику, якщо:

l₁: x cosα₁ + y sin α₁ - с₁ =0;

l₂: x cosα₂ + y sin α₂ - с₂ =0; , с₁, с₂ 0, тоді

ρ (l₁,l₂) = .

Чи буде ρ – метрикою?

5. Нехай у R² задана Побудувати Вε(0).

6. Нехай Х- довільний векторний простір. Розглянемо функцію

Чи буде це нормою?

7. Довести, що внутрішність перетинання двох множин дорівнює перетинанню їх внутрощів

8. Нехай Х=[0,1] [0,1) R². Указати точки, для яких Х не є околицею.

9.Нехай Х- простір із задачі 4. Побудувати В_r(х), коли r<1 і r 1. Яка множина є околицею точки х є Х.

10. Довести, що внутрішність множини Е є об'єднанням усіх відкритих множин, що містяться в Е.

11. Довести, що для будь-якого А Х в метричному просторі (Х, ρ) і для будь-якого ε >0 множина х таких, що ρ (х, А) = ρ (x,y) < , – відкрита.

12. Привести приклад зліченої множини на площині, що не має граничних точок.

13. Привести приклад зліченої множини на відрізку [0,1] такої, щоб множина її граничних точок збігалася з відрізком [0,1].

14. Довести, що замкнуте об'єднання двох множин дорівнює об'єднанню їхніх замикань.

15. Довести, що границя довільної множини Е – завжди замкнута.

16. Побудувати незлічену множину Е на площині таку, що Е= .

17. Привести приклад еквівалентних метрик на площині R², для яких не виконується мова задачі 2.7.

 

Послідовності.

Лекція №9.