Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу.

Дослідження стаціонарних процесів різної фізичної природи (коливання, теплопровідність та інші) часто зводять до рівнянь еліптичного типу:

 

(1.1)

 

де та - неперервні функції.

Для цих рівнянь зазвичай ставляться лише крайові задачі, оскільки задача Коши, як правило, виявляється некоректною [2], тобто дуже малі зміни початкових даних можуть спричинити істотні зміни розв’язку.

Найбільш часто зустрічаються такі крайові задачі.

 

Перша крайова задача. На контурі , що обмежує область (мал. 1.1),

задана неперервна функція .

y Потрібно знайти функцію ,

що задовольняє всередині області

рівнянню (1.1) і приймає на межі

G

задані значення, тобто мають

виконуватися умови

 

(1.2)

0 x

Така крайова задача для рівняння

Мал. 1.1 (1.1) має назву задачі Діріхлє.

 

Друга крайова задача. На контурі , що обмежує область , задана неперервна функція . Потрібно знайти функцію , що задовольняє всередині рівнянню (1.1), нормальна похідна якої на приймає задані значення , тобто потрібно, щоб виконувалися умови

 

(1.3)

 

У цьому випадку крайова задача для рівняння (1.1) має назву задачі Неймана.

 

Третя крайова задача. На контурі , що обмежує область , задана неперервна функція . Потрібно знайти функцію таку, щоб виконувалися умови

 

, (1.4)

 

де .

Третю крайову задачу можна розв’язати як загальну. Дійсно, при та отримаємо першу, а при та – другу крайову задачу. Помітимо, що якщо область обмежена, то відповідна крайова задача називається внутрішньою, у протилежному випадку – зовнішньою. Третя крайова задача має назву змішаної задачі (для рівняння Лапласа).

 

Метод граничних елементів.

Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних задач.

Одним з найбільш широко використаних чисельних методів, що дозволяють вирішити дану проблему, є МГЕ, суть якого полягає у слідуючому.

Нехай U₀ – точний розв’язок рівняння Лапласа на області

 

, (2.1)

 

що задовольняє граничним умовам.

 

(2.2)

 

( – повна межа розглядуваної області ).

Точний розв’язок U₀ може бути знайдено тільки для небагатьох (до того ж простих) випадків, тому, як правило, розв’язок треба апроксимувати. Отже, отримаємо наближений вираз для функції U, тобто розв’язок, підстановка якого в (2.1) і (2.2) порушить указані рівності:

 

(2.3)

 

де .

Таким чином, для розглядуваної області та її межи можна визначити функції помилок

 

(2.4)

 

Тепер головне завдання – зробити ці помилки якнайменшими як у розглядуваній області, так і на межі. Для цього розподілимо функцію помилок наступним чином згідно з [1]:

 

, (2.5)

 

де – вагова функція;

 

. (2.6)

 

Співвідношення (2.5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи вираз (2.4):

 

. (2.7)

 

Вагова функція – повинна бути неперервною разом зі своїми другими похідними та задовольняти рівнянню

 

(2.8)

 

на всій площині .

 

Інтегруючи співвідношення (2.7) два рази за частинами та враховуючи (2.8), отримаємо

 

. (2.9)

 

Тут і – шукані, а і – задані.

Якщо контур розбити на скінчене число граничних елементів K₁+K₂, тобто

 

,

 

причому на кожному елементі U_i і q_j вважаємо постійними , то рівняння (2.9) матиме вигляд

 

. (2.10)

 

В якості вагової функції розглянемо фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа

 

. (2.11)

 

Оскільки рівняння (2.10) однорідне, коефіцієнт перед логарифмом можна відкинути. Координати джерела обираємо не на контурі, а на відстані на зовнішній нормалі, де d – довжина елемента.

Координати джерела можна обчислити за формулами

 

(2.12)

 

 

Підставляючи вагову функцію (2.11) у (2.10), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої є криволінійні інтеграли першого роду, обчислювані для кожного елемента.

Для обчислення значення U у внутрішній точці i області використовується співвідношення [1]

 

, (2.13)

 

яке зв’язує значення функції U в точці i зі значенням q і U на межі .

У формулі (2.13) – задані, q, U – знайдені величини, а – фундаментальний розв’язок (2.11), в якому за джерело береться внутрішня точка .

Примітка. Для визначення і , де n – нормаль до кола, можна отримати формули для двох випадків.

 

1. Коли нормаль направлена до центру кола, рівняння кола (тут (a, b) – координати центру, R – радіус кола) перепишемо у вигляді

 

;

 

знаходимо

 

 

складемо допоміжну функцію

 

 

 

.

 

Тоді

 

 

2. Якщо нормаль направлена від центру, рівняння кола запишеться

 

 

Подальші міркування аналогічні наведеним у п. 1.

Отримаємо

 

 

Приклад 2.1. Розглянемо задачу теплопровідності для контура (мал. 2.1), де на сторонах L₁, L₂, L₄, L₅ – задана температура, а на сторонах L₃, L₆ – задано тепловий потік.

Математична формуліровка задачі має вигляд

 

 

y

2 L₂

L₃ L₁

1 L₄ L₆

0 1 L₅ 3 4 x

Мал. 2.1

Тоді за контур приймаємо суму L₁+L₂+L₄+L₅, а за контур - суму L₃+L₆. Граничне рівняння має вигляд

 

(*)

 

Враховуючи

 

,

 

отримаємо

 

;