Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних.

Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних.

 

Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни

“Рівняння математичної фізики”.

 

Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”.

Мета завдання: виробити навички практичного використання математичного апарату у розв’язку задач з реальним фізичним змістом.

Типове завдання має три задачі: поширення тепла в стержні, повздовжні коливання струни та стаціонарне розподілення температури у платівці. Їх розв’язок ведеться одним з методів математичної фізики – методом поділення змінних, або як його інакше називають – методом Фур’є.

 

 

Виведення рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжиною L при таких припущеннях:

1) стержень зроблений з однорідного матеріалу (мал.1.1);

 

0

мал.1.1

 

2) бічна поверхня стержня теплозольована (тепло може розповсюджуватись тільки вздовж осі OX);

3) стержень тонкий, тобто температура всіх точок у кожному поперечному перерізі стержня постійна і змінюється тільки від перерізу до перерізу.

Якщо розглянемо частину стержня на відрізку і скористуємось законом збереження тепла, тобто загальна кількість тепла на відрізку дорівнює сумі кількості тепла, що проходить через межі, й тепло створене всередині відрізку, тобто:

 

(1.1)

 

З іншого боку, якщо ввести позначення:

– температура стержня,

- питома теплоємність матеріалу (означає здібність матеріалу запасати тепло),

-густина матеріалу,

– площа поперечного перерізу стержня

і скористатися формулою обчислення тепла на відрізку стержня, то маємо

 

.

Тоді закон збереження енергії (1.1) можна записати в математичній формі:

 

(1.2)

 

де – теплопровідність матеріалу (здатність матеріалу проводити тепло),

– об’ємна потужність зовнішнього джерела тепла.

 

Задача полягає у тому, що треба записати рівняння (1.2) у формі, в якій нема інтегралів. Для розв’язку цієї задачі треба вжити теорему про середнє значення: якщо функція неперервна на відрізку , то існує не більш, як одна точка така, що

 

.

 

В результаті одержимо наступне рівняння

 

 

або, якщо поділити на , то

 

.

 

Спрямуємо до і одержимо шукане рівняння:

 

, (1.3)

 

де - коефіцієнт теплопровідності,

– щільність джерела тепла.

 

Розглянемо випадок, коли бічна поверхня стержня не теплоізольована. Відомо, що величина теплового потоку через бічну поверхню стержня в цьому випадку пропорційна різниці між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, яка підтримується постійною і дорівнює нулю.

У цьому випадку закон збереження кількості тепла призводить до рівняння:

 

, (1.4)

 

де - коефіцієнт пропорційності для потоку через бічну поверхню.

 

 

Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами

Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).

Сутність методу – розклад шуканого розв’язку на добуток найпростіших компонент.

Метод поділення змінних вживається у таких випадках:

1.Рівняння лінійне й однорідне (не обов’язково з постійними коефіцієнтами).

2.Граничні умови задаються у вигляді:

 

,

 

де – константи (такі граничні умови називаються лінійними однорідними).

 

 

Загальні принципи метода поділення змінних.

Для найпростішого рівняння з частинними похідними поділення змінних – це пошук розв’язку у вигляді:

 

 

де X(x) – функція, залежна від змінної х;

T(t) – функція, залежна від змінної t.

Необхідно знайти нескінченне число таких розв’язків рівняння з частинними похідними, які задовольняють граничним умовам. Ці найпростіші функції називаються фундаментальними розв’язками.

 

Розв’язок задачі U(x,t) знаходиться у вигляді лінійної комбінації фундаментальних розв’язків тобто вислідна суми

 

 

яка задовольняє початковим умовам. І оскільки ця сума задовольняє рівнянню і граничним умовам, вона є розв’язком вихідної задачі.

 

 

Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.

Треба знайти суму фундаментальних розв’язків

 

(3.7)

 

з такими коефіцієнтами C_k, щоб функція U(x,t) задовольняла початковій умові

 

(3.8)

 

Поширення тепла у стержні.

Задача. Нехай на лівому кінці стержня з теплоізольованою бічною поверхнею підтримується постійна температура, яка дорівнює 2 одиницям, а на правому кінці задана теплова течія, яка дорівнює 5. Початковий розподіл температури показаний на малюнку 4.1. Проведемо дослідження з часом зміни цього розподілу.

 

 

 

0

 

Мал. 4.1

З малюнка легко вивести аналітичну форму функції U(x,0)=f(x), яка буде

 

(4.1)

 

Враховуючи, що

 

;

 

рівняння (4.2) та умови (4.1) і (4.3) перепишемо у вигляді

 

(4.5)

 

(4.6)

 

(4.7)

 

Оскільки у даній задачі граничні умови неоднорідні, то безпосередньо вживати метод поділення змінних не можна. Неоднорідні граничні умови потрібно перетворити в однорідні. Для цього будемо шукати розв’язок задачі у формі

 

(4.8)

 

де - функція, яка задовольняє однорідним граничним умовам, аналогічним (4.7);

- лінійна функція, яка задовольняє неоднорідним граничним умовам.

Підставимо (4.7) в (4.8), отримаємо

 

 

Тоді співвідношення (4.8) приймає вигляд:

 

(4.9)

 

або

 

. (4.10)

 

Сформулюємо вихідну задачу відносно функції . Для цього (4.9) підставимо в (4.5). Отже задача буде

 

(4.11)

 

(4.12)

 

(4.13)

 

Далі розв’язуємо рівняння методом Фур’є, тобто розв’язок шукаємо у формі

 

(4.14)

 

Розв’язок (4.14) підставляємо у рівняння (4.11).

 

 

Поділимо праву та ліву частини рівності на , отримаємо

 

(4.15)

 

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і ,тобто є постійними величинами. Позначимо її через . Тоді з рівності (4.15) одержимо два звичайних диференціальних рівняння

 

(4.16)

 

(4.17)

Розв’яжемо ці рівняння і підставимо в (4.14), тоді будемо мати

 

(4.18)

 

де - довільні сталі.

Отже отримали загальний розв’язок рівняння (4.11). Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

З граничних умов задачі Штурма-Ліувілля маємо

 

 

отже

 

 

Власними функціями є

 

.

 

Оскільки одержане число залежить від , яке змінюється до нескінченності, то кожному значенню буде відповідати розв’язок

 

 

Цей розв’язок рівняння (4.11) задовольняє граничним умовам (4.12) і для кожного значення будемо мати іншу константу.

Тому слід надати константі індекс . Тоді розв’язок буде мати вигляд

 

(4.19)

 

Сума розв’язків (4.19) буде також розв’язком рівняння (4.11), тому що розв’язки складають лінійно-незалежну фундаментальну систему.

Таким чином

 

(4.20)

 

Для визначення довільної константи , використаємо початкову умову, з якої виходить

 

 

Остання формула показує, що константи виявляються коефіцієнтами розкладання функції у ряд Фур’є по синусам в інтервалі (0,1). Отже

 

 

Підставимо вираз (4.15) для функції під інтеграл, тоді

 

 

.

 

Виконав необхідні обчислення, дістанемо

 

(4.21)

.

 

Підставимо (4.21) в (4.20) і, враховуючи рівність (4.9), запишемо остаточний розв’язок задачі:

 

(4.22)

 

Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а - від 0 до 1 з кроком 0.25. Змінення розподілу температури вздовж стержня з часом показано на графіках малюнку 4.2.

Мал.4.2

 

З цих вислідів видно, що наявність течії на одному кінці стержня і постійної додатної температури на другому, призводять до явища, коли стержень охолоджується з часом дуже повільно.

 

 

Будемо розглядати рівняння

 

, (5.1)

 

де - невідома функція, яка залежить від , просторових координат і часу ;

- коефіцієнти, які визначаються властивостями середовища, де відбувається коливальний процес;

- вільний доданок, висловлює інтенсивність зовнішнього збурення.

Рівняння (5.1) відповідно з визначенням операторів div і grad:

 

 

можна записати

 

. (5.2)

 

Розберемо виведення рівняння (5.1) на прикладі малих поперечних коливань струни. Струною називається натягнута нитка, яка не чинить опір згину.

Нехай в площині струна виконує коливання біля свого положення рівноваги, яка співпадає з віссю . Величину відхилення струни від положення рівноваги в точці у час позначимо через , так що - є рівняння струни у час . Обмежуючись розглядом лише малих коливань струни, будемо нехтувати величинами порядку мализни в порівнянні з

 

.

 

Оскільки струна не чинить опору згину, то її натяг в точці у час направлений по дотичній до струни у точці (мал.5.1).

 

 

 

 

 

0

Мал. 5.1.

 

Будь яка ділянка струни після відхилення від положення рівноваги у рамках даного приближення не змінює своєї довжини, тобто

 

 

Таким чином, відповідно закону Гука, величина натягу буде залишатися постійною, яка не залежить від і , . Позначимо через щільність зовнішніх сил, які діють на струну у точці , а в час направлені перпендикулярно вісі у площині . Нехай позначає лінійну щільність струни в точці , так що приблизно - маса елемента струни .

Складемо рівняння руху струни. На її елемент діє сила натягу , і зовнішня сила, сума яких, згідно законам Ньютона, повинна дорівнювати добутку маси цього елемента на його прискорення. Проектуючи цю векторну рівність на вісі, на основі вище сказаного, будемо мати

 

(5.3)

 

Але в рамках нашого наближення

 

,

 

тому з (5.3) маємо

 

,

 

відкіля при виходить рівність

 

. (5.4)

 

Це й є рівняння поперечних коливань струни. При коливання струни називаються вимушеними, а при - вільними.

Якщо щільність стала, , то рівняння коливань струни приймає вигляд

 

, (5.5)

 

де - сталі.

 

Рівняння (5.5) будемо також називати одномірним хвильовим рівнянням.

 

 

Метод граничних елементів.

Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних задач.

Одним з найбільш широко використаних чисельних методів, що дозволяють вирішити дану проблему, є МГЕ, суть якого полягає у слідуючому.

Нехай U₀ – точний розв’язок рівняння Лапласа на області

 

, (2.1)

 

що задовольняє граничним умовам.

 

(2.2)

 

( – повна межа розглядуваної області ).

Точний розв’язок U₀ може бути знайдено тільки для небагатьох (до того ж простих) випадків, тому, як правило, розв’язок треба апроксимувати. Отже, отримаємо наближений вираз для функції U, тобто розв’язок, підстановка якого в (2.1) і (2.2) порушить указані рівності:

 

(2.3)

 

де .

Таким чином, для розглядуваної області та її межи можна визначити функції помилок

 

(2.4)

 

Тепер головне завдання – зробити ці помилки якнайменшими як у розглядуваній області, так і на межі. Для цього розподілимо функцію помилок наступним чином згідно з [1]:

 

, (2.5)

 

де – вагова функція;

 

. (2.6)

 

Співвідношення (2.5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи вираз (2.4):

 

. (2.7)

 

Вагова функція – повинна бути неперервною разом зі своїми другими похідними та задовольняти рівнянню

 

(2.8)

 

на всій площині .

 

Інтегруючи співвідношення (2.7) два рази за частинами та враховуючи (2.8), отримаємо

 

. (2.9)

 

Тут і – шукані, а і – задані.

Якщо контур розбити на скінчене число граничних елементів K₁+K₂, тобто

 

,

 

причому на кожному елементі U_i і q_j вважаємо постійними , то рівняння (2.9) матиме вигляд

 

. (2.10)

 

В якості вагової функції розглянемо фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа

 

. (2.11)

 

Оскільки рівняння (2.10) однорідне, коефіцієнт перед логарифмом можна відкинути. Координати джерела обираємо не на контурі, а на відстані на зовнішній нормалі, де d – довжина елемента.

Координати джерела можна обчислити за формулами

 

(2.12)

 

 

Підставляючи вагову функцію (2.11) у (2.10), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої є криволінійні інтеграли першого роду, обчислювані для кожного елемента.

Для обчислення значення U у внутрішній точці i області використовується співвідношення [1]

 

, (2.13)

 

яке зв’язує значення функції U в точці i зі значенням q і U на межі .

У формулі (2.13) – задані, q, U – знайдені величини, а – фундаментальний розв’язок (2.11), в якому за джерело береться внутрішня точка .

Примітка. Для визначення і , де n – нормаль до кола, можна отримати формули для двох випадків.

 

1. Коли нормаль направлена до центру кола, рівняння кола (тут (a, b) – координати центру, R – радіус кола) перепишемо у вигляді

 

;

 

знаходимо

 

 

складемо допоміжну функцію

 

 

 

.

 

Тоді

 

 

2. Якщо нормаль направлена від центру, рівняння кола запишеться

 

 

Подальші міркування аналогічні наведеним у п. 1.

Отримаємо

 

 

Приклад 2.1. Розглянемо задачу теплопровідності для контура (мал. 2.1), де на сторонах L₁, L₂, L₄, L₅ – задана температура, а на сторонах L₃, L₆ – задано тепловий потік.

Математична формуліровка задачі має вигляд

 

 

y

2 L₂

L₃ L₁

1 L₄ L₆

0 1 L₅ 3 4 x

Мал. 2.1

Тоді за контур приймаємо суму L₁+L₂+L₄+L₅, а за контур - суму L₃+L₆. Граничне рівняння має вигляд

 

(*)

 

Враховуючи

 

,

 

отримаємо

 

;

 

Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних.

 

Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни

“Рівняння математичної фізики”.

 

Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”.

Мета завдання: виробити навички практичного використання математичного апарату у розв’язку задач з реальним фізичним змістом.

Типове завдання має три задачі: поширення тепла в стержні, повздовжні коливання струни та стаціонарне розподілення температури у платівці. Їх розв’язок ведеться одним з методів математичної фізики – методом поділення змінних, або як його інакше називають – методом Фур’є.