Уравнения плоскости в пространстве.

Уравнения плоскости в пространстве.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0 - общ. Ур-е

a (x – x ₀) + b (y – y ₀) + c (z – z ₀) = 0

 

Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол между плоскостями:

Усл. перпендикулярности:

Необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Усл. параллельности:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ïï . Это условие выполняется, если:

 

Расстояние от точки до плоскости.

.

 

Уравнения прямой в пространстве.

Каноническое ур-е:

Парам.ур-е:

Ур-е прямой проход. Через 2 точки:

 

Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами

а)

S₁ {l₁,m₁} S₂ {l₂,m₂},

Или

p:y=k₁x+b₁, k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+ tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б) p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то

 

 

 

Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью.

-угол

Угол между прямымой и плоскостью: cosα=

Если α‖β, то s^n, => s ^. n=o

Если α^β_, то s‖n

 

Предел функции в точке.

Число А – это предел функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности допустимых значений для аргумента функции ®x₀ соответствующие значения функции стремятся к числу А, т.е.

 

Односторонние пределы.

Число А называется левым односторонним пределом функции y=f(x), если х®x₀ так что для лююбых х: <хо, т.е.

Число А называется правым односторонним пределом функции y=f(x), если х®x₀ так что для лююбых х: >хо, т.е.

 

9. Предел функции при

Число А называется пределом функции y=f(x) при х®∞ если для любого сколь угодно малого положительного числа d найдется положительное число М что для любго Х так что >М выполняется условие

 

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

 

 

 

Основные теоремы о б.м.ф.

Т1: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Т2: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Т3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Т4: Если функция α(х) — бесконечно малая (α¹ 0), то функция 1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

 

Теорема о связи функции ее предела и б.м.ф.

Для того чтобы число А было пределом функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточн чтобы эта функция была представлена как сумма ее предела и б.м.ф.

 

Основные теоремы о пределах (предел суммы, произведения и частного функций)

Теорема 1: предел суммы = сумме пределов -

Теорема 2: предел произведения = произведению пределов -

Теорема 3: предел частного двух функций = частному пределов -

 

Теорема о пределе промежуточной функции.

Если функция f(x)заключена между двумя функцияи f(x) и g(x) стремящихся к одному и тому же пределу limf(x)=A, limg(x)=A, то и f(x) будет стремиться к тому же пределу.

 

Первый замечательный предел, его следствия.

1.

2.

3.

4.

5.

Второй замечательный предел, его следствия.

 

или

Следствия:

 

Непрерывность функций в точке, на интервале.

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

 

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

 

Таблица производных.

 

Максимум и минимум функций.

Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0.

. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0.

 

Асимптоты графика функции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b,,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

 

 

 

Уравнения плоскости в пространстве.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0 - общ. Ур-е

a (x – x ₀) + b (y – y ₀) + c (z – z ₀) = 0