Изучение вращательного движения

ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Цель работы: изучить основной закон динамики вращательного движения твердого тела, экспериментально определить момент инерции крестообразного маховика и установить зависимость момента инерции маховика от распределения его массы относительно оси вращения.

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, секундомеры, штангенциркуль, набор гирь, линейка.

Краткая теория.

Предположим, твердое тело А может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Для того чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако сила , направление которой проходит через ось вращения, или , параллельная оси вращения, не могут изменить угловую скорость тела. Поэтому из приложенной к телу внешней силы R необходимо выделить составляющие и , не вызывающие вращения. Вращение может быть вызвано только силой F (вращающей силой), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка ее приложения.

Заметим, что при вращении тела составляющие и работы не совершают, так как точка приложения этих сил В перемещается перпендикулярно их направлениям. Работу совершает только вращающая сила F; она является проекцией действующей силы R на направление движения точки приложения этой силы.

Определим величину работы , которую совершает вращающая сила, если точка приложения ее смещается по окружности радиуса r на . Предположим, что величина силы F при этом остается постоянной. Тогда

(1)

Произведение вращающей силы F на радиус r есть момент вращающей силы, действующий на данное тело, и обозначается через М (напомним, что моментом данной силы относительно какой-нибудь оси называется произведение этой силы на ее плечо, т.е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной оси до направления действия силы). Таким образом, в формуле (1) , следовательно, работа, совершаемая вращающим моментом, равна произведению этого момента на угол поворота тела:

(2)

Если вращающий момент (сила F или ее плечо r) с течением времени изменяется, то совершаемая работа определяется как сумма:

; . (3)

Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения; положительную ориентировку этого вектора выбирают в том направлении, в котором перемещался бы правый винт, вращаемый этим моментом.

Вращающий момент М, приложенный к телу, сообщает ему некоторое угловое ускорение e; согласно выбранным нами направлениям векторов и , они ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Связь между величиной вращающего момента и величиной сообщаемого им углового ускорения можно получить следующим образом.

Работа движущей силы равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена: . Тогда для вращающегося тела, согласно формуле , имеем:

(4)

где w – угловая скорость. Здесь предполагается, что момент инерции тела J при вращении не изменяется. Разделив уравнение (4) на dt и сократив на получаем:

. (5)

Формула (5) выражает основной закон динамики вращательного движения твердых тел, для которых J = const.

Момент инерции точки относительно оси вращения равен произведению массы точки на квадрат расстояния от оси вращения до данной точки.

В основном законе динамики вращательного движения твердого тела J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела есть величина, характеризующая инертность тела при вращении. В уравнениях вращательного движения роль момента инерции аналогична роли массы в уравнениях поступательного движения.

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции всех элементов (точек) тела относительно этой оси и выражается формулой:

, (6)

где r – плотность тела, расстояние от элемента массы до оси вращения, V – объем тела. Интегрирование производится по всему объему тела. Таким образом, момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения.

Любое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от состояния своего движения. Измеряется момент инерции в .