Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида

, (1)

где - известные функции. Если - частное решение уравнения (1) при , то посредством замены порядок уравнения (1) при можно понизить.

Функции называются линейно зависимыми на сегмента [a,b], если существуют такие постоянные , одновременно не равные нулю, что на [a,b] выполняется тождество

. (2)

Если тождество (2) справедливо лишь при , то указанные функции называются линейно независимыми на сегменте [a,b].

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

С помощью замены понижаем порядок данного уравнения:

.

Общее решение его имеет вид . Интегрируя уравнение окончательно находим

.

Пример 2. Исследовать на линейную независимость функции , в области, где они определены.

Решение.

Согласно определению линейной независимости функций должны найтись такие числа , одновременно не равные нулю, что выполняется тождество относительно x:

.

Отсюда (если эти тождества выполняются) следуют равенства

,

или . Следовательно, функции линейно независимы.

Пусть - произвольная система функций, заданных на [a,b], определителем Вронского для данной системы является определитель

.

Если (n-1) раз дифференцируемые функции линейно зависимы на сегменте [a,b], то на [a,b].

Если линейно независимые функции являются решениями линейного однородного уравнения

, (3)

где непрерывные на сегменте [a,b] функции, то на [a,b].

Общее решение уравнения (3) при есть линейная комбинация

линейно независимых частных решений этого уравнения.

Пример 3. Могут ли графики двух решений уравнения

с непрерывными коэффициентами на плоскости xOy пересекаться.

Решение.

Пусть - два различных решения данного уравнения. Тогда и функция также есть решение этого уравнения, причем , где абсцисса точки пересечения графиков решений .

Если n=1, то, в силу единственности задачи Коши имеется только тривиальное решение . Следовательно, двух различных решений нет. Пусть n=2, тогда имеем задачу

в который произвольное, поскольку не задано. Следовательно, графики двух решений задачи могут пересекаться при . Аналогичная ситуация и при .

Совокупность n линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения n-го порядка называется его фундаментальной системой. Фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (3). Такое уравнение имеет вид

. (4)

Пример 4. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее частные решения .

Решение.

Очевидно, что функции линейно независимые, поэтому согласно (4), имеем

.

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка , у которого известно одно частное решение , можно решить, используя формулу Остроградского - Лиувилля:

,

где - любые два решения данного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

По формуле Остроградского - Лиувилля получим

.

Так как функция известна, то получим линейное уравнение первого порядка относительно . Разделив обе части уравнения на , получим

.

Так как , то

,

В итоге получаем общее решение уравнения

.

Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. Если коэффициенты уравнения являются многочленами, то его частное решение можно найти также в виде многочленов.

Пример 6. Найти частное решение уравнения , являющееся алгебраическим многочленом.

Решение.

Сначала найдем степень многочлена. Подставляя в уравнение и выписывая только члены с самой старшей степенью x, получим:

.

Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим:

.

Отсюда . Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде . Подставляя в исходное уравнение получим , следовательно,

Отсюда . Итак, многочлен является частным решением.