Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

Мета роботи: вивчити поняття ймовірності події, залежних, незалежних, сумісних, несумісних подій; теореми додавання і множення ймовірностей, формули повної ймовірності, Байєса, умови їх застосування.

План вивчення теми 1. Класичне означення ймовірності.

2. Елементи комбінаторики. 3. Геометрична ймовірність. 4. Статистична ймовірність. 5. Умовна ймовірність.

6. Формули ймовірностей добутку та суми випадкових подій. 7. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події.

8. Формула повної ймовірності. 9. Формула Байєса.

 

 

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

 

 

Класичне означення ймовірності

 

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій вводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

Імовірністю випадкової події А називається невід'ємне число

 

Р (А) що дорівнює відношенню числа елементарних подій які сприяють появі А до кількості всіх елементарних подій простору W:

 

P (A) = m (2.1)

 

Для неможливої події P (Æ) = 0 (m = 0). Для вірогідної події P (W) =1. Отже, для довільної випадкової події 0 < P (A) <1 (оскільки

 

0 < m < n).

 

Приклад. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?

Розв'язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту: n =15.

Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев'яти(m =9).Згідноз(2.1)маємо: P (A m = 15 = 5.

 

Елементи комбінаторики

 

Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором

елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини W) і число m елементарних

 

подій, які сприяють появі випадкової події.

 

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення,

 

 

27

n

)=

n

 

розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані. Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові

істотним є порядок розміщення елементів. У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленнями із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

P = n!= n (n −1)(n −2)...2×1, (2.2)

 

де n набуває лише цілих невід'ємних значень. Приймають, що 1! =1 і 0!=1.

 

Приклад 1. Задано множину цілих чисел W= {1, 2, 3, 4, 5}. її

 

елементи навмання розставляють у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А — розставлені в ряд числа утворюють зростаючу послідовність;

В — спадну послідовність;

 

С — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому; Розв'язання. Простір елементарних подій для цього

експерименту міститиме n = 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120 несумісних, рівноможливих елементарних подій.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі А дорівнює одиниці (mA = 1). Кількість елементарних подій, що сприяють появі В дорівнює одиниці (mB = 1). Для випадкової події С m = 3!. Тоді

 

P (A) = n =120, P (В) = n =120, P (С) = n =120 = 20. Розміщення. Розміщеннями із n елементів по m (0 < m < n)

називаються такі впорядковані множини, кожна з яких містить m

 

28

n

С

m

3!

m

m

С

В

А

 

елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

 

Am = n (n −1)(n −2)...(n − m +1). (2.3)

 

Наприклад, А 3= 9 • 8 • 7 = 504.

 

Комбінації. Комбінаціями з n елементів по m (0 < m < n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин

n

=

C

.

)=

m n!

n m!(n − m)!

 

(2.4)

 

 

Геометрична ймовірність

 

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівноможливих елементарних

подій, тобто коли множина її (простір елементарних подій) обмежена. Якщо множина W є неперервною і квадровною, то для

обчислення ймовірності А (А Ì W) використовується геометрична

 

ймовірність

 

P (A m (). (2.5)

 

 

Якщо множина W вимірюється в лінійних одиницях, то P (A) дорівнюватиме відношенню довжин, якщо W вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.

Приклад. По трубопроводу довжиною 2 км між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження (якщо воно відбудеться) через деякий час роботи трубопроводу станеться на

певній ділянці довжиною 100 м.

 

Розв'язання. Простір елементарних подій W ={0 < l < 2 км },

 

тоді

 

 

 

А ={0 < lА < 0,1 км }. Згідно з (2.5) маємо:

 

P () = m () = lA = 0,1 = 0,05.

 

Статистична ймовірність

 

На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна

 

лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій (множини W). Для

 

більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.

Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події W (A).

 

Відносною частотою випадкової події А W (A) називається

 

відношення кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної кількості n проведених експериментів:

W (A) = m. (2.6)

 

 

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність 0 < W (A) <1.

 

Статистичною ймовірністю випадкові події називається константа навколо якої групуються відносні частоти випадкової події.