Посилений закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин , визначених на одному ймовірнісному просторі . Нехай . Позначимо вибіркове среднє перших членів:

.

Тоді майже напевно.

Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел

Слабкий закон стверджує, що для великого числа n, середнє значення правдоподібно є близько до μ. Отже, залишається можливість того, що трапляється нескінченну кількість разів, хоча й на рідкісних інтервалах.

Посилений закон стверджує що це майже напевно не станеться. Зокрема, це означає що з імовірністю 1, для кожного ε > 0 нерівність виконується для всіх достатньо велеких n. ^[1]

ЗВЧ Бореля

Закон великих чисел Бореля, на честь Еміля Бореля, стверджує, що якщо повторювати експеримент багато раз за тих самих умов і незалежно від інших спроб, то частота певної події наближено дорівнює ймовірності випадання цієї події в кожному окремому експерименті; чим більша кількість повторень тим краще наближення. Точніше, якщо E — подія, p ймовірність цієї події і N_n (E) — число разів коли в експерименті випадає подія E в n перших спробах, тоді з ймовірністю 1:

Ця теорема строго формалізує інтуїтивне поняття ймовірності як граничної частоти випадання події в експерименті. Теорема є частковим випадком інших загальніших законів великих чисел в теорії ймовірності.

54. Охарактеризувати статистичні таблиці.

аслідки зведення та групування даних статистичного спостереження, як правило, відображають у вигляді статистичних таблиць. В таблицях ці дані сприймаються найбільш компактно, виразно і рельєфно. Вміло складена таблиця дозволяє значно логічніше проаналізувати статистичні дані. Сучасну правову статистику неможливо представити без табличного відображення даних спостереження, а також результатів зведення та групування їх.

Статистична таблиця – це форма найбільш раціонального викла­дення числових характеристик досліджуваних суспільних явищ і процесів. Статистична таблиця від інших оперативних табличних форм відрізняється тим, що вона ґрунтується не на гіпотезах, а на результатах підрахунку і зведення емпіричних даних; первинної інформації.

За своєю структурою статистична таблиця складається із ряду горизон­тальних рядків і вертикальних граф (колонок, стовпчиків). Рядок таблиці – це числові дані, які розташовані по горизонталі, а графи – по вертикалі. Пере­тинання граф і рядків утворює клітини таблиці, в яких зосереджена цифрова інформація. Сукупність горизонтальних рядків і вертикальних граф без наве­дених числових даних утворює тільки макет статистичної таблиці. Сутність же статистичної таблиці визначається сукупністю суджень, які характеризу­ються числовими показниками в таблиці. Наведемо макет статистичної таблиці (див. рис. 5).

55. Охарактеризувати статичні оцінки параметрів генеральної сукупності.

Генеральна сукупність вимірів — це одне з визначальних понять теорії імовірності та статистики, а також інших галузей, що використовують їх математичний апарат. Генеральна сукупність — це абсолютно всі можливі результати певної події.

Генеральною сукупністю вимірів називається сукупніcть, яка має: ^[1]

· повну групу показників вимірів, тобто впорядковану в міру зростання множину можливих значень вимірів, що змінюються ступенями-квантами ;

· таку добротність , що дає змогу встановити розподіл імовірностей статистичної змінної .

· — це одиниця вимірювання, називається ступенем квантування вимірів.

Xарактеристики генеральної сукупності

· розмах

· ступінь квантування вимірів

· обсяг вимірів

· обсяг повної групи показників вимірів

· добротність

· ступінь довіри

Особливості

· Повна група показників вимірів являє собою простір елементарних подій, які відбуваються при вимірюванні.

· Числовий ряд, членами якого є показники повної групи , являє собою кінцеву арифметичну прогресію з різницею прогресії .

· Генеральна сукупність вимірів має наповненість .

· Розмах значень генеральної сукупності набуває постійного значення, його величина не змінюється при нарощуванні кількості вимірювань.

Приклад

Електронним тахеометром 3Та5Р виконано багаторазове вимірювання однієї короткої лінії. ^[2]

Одержана сукупність вимірів обсягу .

Результати вимірювань набули таких значень (мм): 6834, 6835, 6836, 6837, 6838.

Ці значення вимірів траплялись в генеральній сукупності відповідно 12, 360, 567, 60, 1 раз.

Ступінь квантування мм, розмах мм.

Повна група показників вимірів має обсяг , виглядає так:

.

Добротність цієї генеральної сукупності

.