Построение системы комплексных чисел

Вопрос 1

Построение системы комплексных чисел

Самые простые числа — это натуральные, они обозначаются буквой :

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты. Натуральные числа мы можем складывать и умножать. Целые числа, обозначаемые , расширяют множество натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталось меньшее. Вот примеры целых чисел:

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы дробные числа . Их так же называют рациональными:

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это действительные (вещественные) числа . Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число – это число, которое нельзя представить в виде отношения двух чисел. Например, корень из 2

Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел. Комплексные числа хороши ещё тем, что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнение

Не имеет корней в действительных числах, но имеет корень в комплексных числах.

 

 

Рассмотрим множество М{(а,в)(а,в)еR}

Введем на М операцию +

Длю любого а,б,с,деР

(а,б)+(с,д)=(а+с;б+д);

Свойства этой операции

1) (а,б)+(с,д)=(с;д)+(а,б)

2 (а,б)+(с,д)+(е,ф)=((а+с)+е)+((б+д)+ф)=(а,б)+((с,д)+(е+ф))

 

 

Вопрос 2

Алгебраическая форма комплексного числа

Числа вида z=a+bi, где а и b действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. Обозначение a=Rez, b=Imz. Запись комплексного числа в виде a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Число a называется действительной частью, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа а и b могут быть равны 0. Если а=0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b=0, то комплексное число a+bi равно а и называется действительным. Если а=0 и b=0 одновременно, то комплексное число 0+0i равно нулю.

Число i называется мнимой единицей, а равенство i²=-1 считается определением мнимой единицей.

 

Вопрос 3

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение

Чтобы найти сумму двух комплексных чисел, надо отдельно сложить их действительные и мнимые части:

Вычитание

Вычитание комплексных чисел определяют как действие, обратное сложению. Поэтому действительная и мнимая части разности z1 − z2 равны, соответственно, разности действительных и мнимых частей чисел z1 и z2.

Умножение

Комплексные числа умножают по правилам умножения многочленов, принимая во внимание, что i² = −1:

Деление

Чтобы разделить комплексное число z1 на число z2 не равное 0 в алгебраической форме, надо числитель и знаменатель дроби z1/z2 умножить на число z2, комплексно-сопряженное знаменателю:

Вопрос 4

Вопрос 5

Тригонометрическая форма комплексного числа

Часто бывает тригонометрическая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

 

Отсюда получается

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Таким образом, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

 

Вопрос 6,7

Действия над числами в тригонометрической форме

Вопрос 8

Вопрос 9

Понятие дифференциального уравнения первой степени

Обыкновенным дифферинциальным уравнением первой степени, называется уравнения вида

F(x,y,y’)=0;

Связывающее независимые переменные х, искомую функцию у и её производную у’

Y=y(x); y’=y’(x)

 

Вопрос 10

Вопрос 11

Понятие решения дифференциального уравнения

Решением д.у. называется функция y=u(x), которая при постановке её в уравнение превращает его в тождество

 

Вопрос 12

Интегральная прямая

 

График уравнения y=u(x), называется интегральной прямой

 

Вопрос 13

Вопрос 14.

Залача Коши. Теорема Коши.

 

Задача отыскания решений д.у. первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию

Y(x0)=y0, называется задачей Коши

 

Т. Коши

Пусть в д.у. y’=f(x’y), функция f(x,y) и её частная производная f’y(x;y), не прерывна в некоторой области Д, тогда любая точка М(х0.у0)еД существует единственное решение у=у(х), удовлетворяющее начальному условию у0=у(х0)

 

Вопрос 15

Вопрос 16

Вопрос 1

Построение системы комплексных чисел

Самые простые числа — это натуральные, они обозначаются буквой :

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты. Натуральные числа мы можем складывать и умножать. Целые числа, обозначаемые , расширяют множество натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталось меньшее. Вот примеры целых чисел:

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы дробные числа . Их так же называют рациональными:

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это действительные (вещественные) числа . Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число – это число, которое нельзя представить в виде отношения двух чисел. Например, корень из 2

Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел. Комплексные числа хороши ещё тем, что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнение

Не имеет корней в действительных числах, но имеет корень в комплексных числах.

 

 

Рассмотрим множество М{(а,в)(а,в)еR}

Введем на М операцию +

Длю любого а,б,с,деР

(а,б)+(с,д)=(а+с;б+д);

Свойства этой операции

1) (а,б)+(с,д)=(с;д)+(а,б)

2 (а,б)+(с,д)+(е,ф)=((а+с)+е)+((б+д)+ф)=(а,б)+((с,д)+(е+ф))

 

 

Вопрос 2