Функціональні та степеневі ряди .Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду

Ряд де членами ряду є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0 ряд перетворюється на числовий. Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду

а+ а х +a X²+...+ а x +...= а х

a , a … a - дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Степеневим рядом за степенями двочлена х — хо, де x - дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:

а a (x-x )+...+а (х-х ) + …=

Для кожного степеневого ряду існує таке дійсне додатне число R, що при

x ˂ R ряд (15) збігається, а при x ˃ R розбігається.

Проміжок (- R; R) називається інтервалом збіжності, а число R радіусом

Збіжності ряду

21. Ряди Тейлора та Маклорена. Тригонометричний ряд Фур’є Нехай функція нескінченно диференційована в деякому околі точки тоді ряд має назву ряда Тейлора функції у точці . У випадку, якщо цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції з періодом , оскільки та є періодичними з періодом

22. Поняття функції багатьох змінних.Границя та неперервність функції.Частинні похідні функції. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x1,…,xn). Частинною (частковою) похідною від функції f (x, y) за аргументом x називається границя

 

Частинну (часткова) похідну від функції f (x, y) за аргументом y визначають аналогічно.

Для частинних похідних від функції f (x, y) використовують такі позначення: f ¢_x(x, y); z ¢_x

f ¢_y(x, y); z ¢_y

23. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт Скалярним полем - називають називають частину простору(увесь простір), у кожній точці якого відповідно до певного закону задано числове значення деякої скалярної величини. Похідна за напрямком - це узагальнення поняття похідної на випадок функції кількох змінних. Похідна за напрямом показує, наскільки швидко функція змінюється при русі вздовж заданого напряму.

Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.

Локальний екстремум. Функції багатьох змінних

Диференціальні рівняння, основні означення.Рівняння з відокремлюваними змінними,однорідні, в повних диференціалах. Лінійні диференціальні рівняння першого та другого порядку.Рівняння вищих порядків.

Диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною диференціал

Рівняння вигляду P (x) dx + Q (y) dy =0. називається рівнянням з відокремленими змінними.

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду де та — функції, що залежать тільки від аргументу x.

26 Основні поняття комбінаторики. Правила комбінаторики Випадкова подія — подія, яка при заданих умовах може як відбутись, так і не відбутись, при чому існує визначена ймовірність того, що вона відбудеться при заданих умовах. Ймові́рність — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

27. Ймовірність події. Класифікація подій. Операції над подіями Ймові́рність — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V. Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою.

28. Послідовність незалежних випробувань.Формули Бернуллі, Пуассона У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність Р настання події А в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює або

Формула Пуассона Якщо ймовірність p настання події А в кожному випробуванні постійна, близька до нуля, а число незалежних випробувань n досить велике, то імовірність Pn (k) того, що в n незалежних випробуваннях подія А наступить k разів, наближено дорівнює: