Теорема о представлении сходящейся числовой последовательности.

Теорема о представлении сходящейся числовой последовательности.

Тэарэма (пра выяўленне збежнай лікавай паслядоўнасці). Для таго каб лікавая паслядоўнасць мела лімітам лік , неабходна і дастаткова, каб , дзе ёсць бясконца малая паслядоўнасць.

□ (Неабходнасць) Няхай і , то лікавая паслядоўнасць ёсць бясконца малая паслядоўнасць. Гэта азначае, што мае месца выяўленне , дзе – бясконца малая паслядоўнасць.

(Дастатковасць) Няхай , – бясконца малая паслядоўнасць. Паколькі ёсць бясконца малая паслядоўнасць, то лікавая паслядоўнасць таксама (бмп), г.зн. . ■

 

Предел частного двух сходящихся числовых последовательностей.

(Ліміт дзелі дзвюх збежных лікавых паслядоўнасцяў) Калі і , то .

□ Маем дзе – бясконца малыя паслядоўнасці. Таму . З уласцівасцяў бясконца малых паслядоўнасцяў вынікае, што ёсць (бмп). Пакажам, што лікавая паслядоўнасць – абмежаваная. Паколькі і , то для . Далей атрымаем , г.зн. , або , а таму – абмежаваная лікавая паслядоўнасць(Чаму?). Такім чынам, – (бмп). Гэта значыць, мае месца выяўленне (бмп). На падставе тэарэмы пра выяўленне збежнай паслядоўнасці маем . ■

Предельный переход в неравенствах.

Тэарэма. (пра лімітавы пераход у няроўнасцях). Калі, пачынаючы з некаторага нумара, для элементаў дзвюх збежных лікавых паслядоўнасцяў і праўдзяцца няроўнасці , то ліміты гэтых паслядоўнасцяў праўдзяць няроўнасць .

□ (ад процілеглага) Няхай , але . Возьмем лік настолькі малы, каб праўдзілась няроўнасць . (2)

(Дастаткова ўзяць .) Паколькі , то для выбранага ліку зноўдзецца , што раўназначна няроўнасцям (3)

. (4)

Выкарыстоўваючы па чарзе спачатку правую няроўнасць з (4), затым няроўнасць (2) і, нарэшце, левую няроўнасць з (3), атрымаем , адкуль вынікае, што ■

 

Теорема о сжатой последовательности.

Тэарэма (пра сціснутую паслядоўнасць, або прынцып двух міліцыянтаў). Калі мае месца няроўнасць (5)

і , то і .

□ Выберам адвольна . Паколькі паслядоўнасці – збежныя, то праўдзяцца няроўнасці (6)

. (7)

Беручы адпаведныя няроўнасці з (6), (5) і (7), атрымаем .

З гэтых няроўнасцяў вынікае , г.зн. . ■

 

Критерий сходимости монотонной числовой последовательности.

Тэарэма (Крытэр збежнасці манатоннай паслядоўнасці). Для таго каб манатонная паслядоўнасць была збежнаю, неабходна і дастаткова, каб яна была абмежаванаю.

□ Неабходнасць. Абмежаванасць ёсць неабходная ўмова збежнасці ўсякай паслядоўнасці, у тым ліку манатоннай.

Дастатковасць. Доказ правядзем для неспадальнай паслядоўнасці , г.зн. . Паколькі паслядоўнасць ёсць абмежаваная, то па тэарэме пра межы лікавая паслядоўнасць мае дакладную верхнюю мяжу. Няхай . Пакажам, што ёсць ліміт лікавай паслядоўнасці . Згодна з азначэннем супрэмуму маем Паколькі паслядаўнасць – неспадальная, то Такім чынам, , або . Гэта і азначае, што ■

 

Стабилизация знака непрерывной функции.

Тэарэма. Калі функцыя вызначана ў акрузе пункта , непарыўная ў пункце і , то існуе акруга пункта , у якой знак функцыі супа-дае з яе знакам у пункце , г.зн. .

□ Няхай для пэўнасці . З прычыны непарыўнасці у пункце для , адкуль вынікае, што . Выпадак разглядаецца аналагічна (выбіраецца ) ■

Непрерывность сложной функции.

def: Няхай функцыя вызначана на , а функцыя вызначана на , прычым . Тады функцыю, якая набывае значэнне , называюць складанай функцыяй (або кампазіцыяй, або суперпазіцыяй) функцый і абазначаюць .

Тэарэма. Калі функцыя непарыўная ў пункце , прычым , а функцыя непарыўная ў пункце , то складаная функцыя непарыўная ў пункце .

□ Паколькі функцыя ёсць непарыўная ў пункце , то

(1) мае месца . (2)

З непарыўнасці функцыі ў пункце маем: для знойдзенага існуе (3) выконваецца няроўнасць (4).

Калі ў (4) і (2) узяць і , то з (3) і (2) на падставе (1), (4) маем: . Гэта і азначае, што – непарыўная ў пункце . ■

Непрерывность тригонометрических функций.

1). Функцыя – непарыўная на .

□ Спачатку дакажам, што Калі (гл. §2.7.), а таму Калі і пры гэтым тады маем Калі ж , то з няроўнасці вынікае, што

Возьмем , маем

для ўсіх , якія адпавядаюць няроўнасці Гэта і азначае непарыўнасць сінуса ў пункце , а тым самым і на ўсёй лікавай прамой. ■

 

2). Функцыя – непарыўная на .

Доказ праводзіцца аналагічна на падставе роўнасці

, або на падставе тэарэмы пра непарыўнасць

кампазіцыі і роўнасці

 

3). Функцыі – непарыўныя на.абсягу іх існавання як дзель непарыўных функцый.

 

 

Теорема о представлении сходящейся числовой последовательности.

Тэарэма (пра выяўленне збежнай лікавай паслядоўнасці). Для таго каб лікавая паслядоўнасць мела лімітам лік , неабходна і дастаткова, каб , дзе ёсць бясконца малая паслядоўнасць.

□ (Неабходнасць) Няхай і , то лікавая паслядоўнасць ёсць бясконца малая паслядоўнасць. Гэта азначае, што мае месца выяўленне , дзе – бясконца малая паслядоўнасць.

(Дастатковасць) Няхай , – бясконца малая паслядоўнасць. Паколькі ёсць бясконца малая паслядоўнасць, то лікавая паслядоўнасць таксама (бмп), г.зн. . ■