Базіс лінейнай прасторы. Памернасць.Каардынаты вектарау

Азн.1 Сістэма вектароў В-лін.праст. V над Р,наз. базісам лін.прасторы V,калі В –лін.незалежн.і V лін.выражаецца праз В.

Азн.2 Лін. прастора, у якой існуе канцоўны базіс назыв. канцамернай (пр-ра якая складаецца толькі з Ō таксама наз. канцамернай), у адвар.выпадку – бесканцамернай.

Тэар.1 Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

Доказ: Няхайа₁,а_2, …, а_n (1) –базіс лін. пр-ры V над Р. З т-мы Штэйніца вынікае што адвольн. лін. сіс-ма з V мае менш ці роуна за n вектараў. Таму кожны базіс V канцоуны. З таго што адвольн. 2 базісы эквівалентныя паводле выніку 2 т-мы Штэйніца атрымаем што яны маюць адвольн. колькасць вектарау.

Азн.3 Калі лін. прастора, у якой існуе канцоуны базіс з n вектараў,наз. n-мернай, а n наз. памернасцю гэтай пр-ры.Пр-ра якая складаецца толькі з Ō наз. Ō-мернай. Памернасць абазначаюць n=dim V.

Прыклады:

1) V₃, некампланарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₃=3;

2) V₃, некалінеарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₂=2;

3) V₁, свабодных вектараў, паралельных фіксаванай прамой, з’яўляецца базісам. dim V₁=1;
4) Р[x], x,x²,…,xⁿ-з’яўл. Базісам.

Каардынаты вектару.

Няхай V-n-мерная л.п. над P; v₁,v₂,…v_n-базiс V (1)." аÎV a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n; a_іÎP,i= (каэф. a₁,a₂,…, a_n-каардынаты а у базiсе (1)).

Сцвердж.: каардынаты вектара у фiксаваным базiсе вызначаны адназначна.

Доказ: a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n =b₁v₁+b₂v₂+…+b_nv_n, a_і,b_iÎP,i=

(a₁-b₁) v₁+(a₂-b₂) v₁+…+(a_n-b_n)v_n = Ō=>л.н.=> a_і-b_і =0,i= ,a_і=b_і .

a₁

… -каардынатны слупок а у базісе (1)

a_n

Заувага Усе уласцівасці аперацый з м-цамі над R застаюцца сапрауднымі і для матрыц над адвольным полем Р. Калі разгледзець матрыцы элементы якіх належаць лін. пр-ры V і складанна і множанне на элнменты асн. Поля такіх матрыцау вызначыць аналагічна таму як яны вызначаны для матрыцау над R. Усе уласцівасці аперацый застаюцца праудзівымі.

 

Увядзем матрыцу-радок B=(v₁v₂…v_n) – (2). Тады відавочна што вектар а з каард. (a₁,a₂,…, a_n) у базісе(1) можна запісаць у выглядзе матрычнай роунасці

a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n= (v₁v₂…v_n) a₁ = BХ

…

a_n

 

Тэарэма2. Няхай a і b- вектары лін. пр. V над P, X, Y- кард. слупкі a, b у базісе(1). Тады каард. Слупок вектару a+b у базісе(1) роуны X+Y, каард. слупок aa, aÎP у базісе(1) роуны aX.

Доказ: a=BX, b=BY, дзе B- матрыца(2)

a+b=BX+BY=B(X+Y)

aa=a(BX)=B(aX), X+Y- каард. слупок a+b, aX- каард. слупок aa у базісе(1).

Вынiк 1:Каард. слупок лін.камб. вект.роуны лін.камб. каард. слупкоу гэтых вектароу з тымi самымi каэфицыентамi.

Вынiк 2:Сiстэма вектароу л.з. калі і толькі калі л.з.сіс-ма іх каард. слупкоу у некаторым базiсе.

Тэарэма У лін.праст.:

1) Адвольн.сіс-ма, у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

2) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

3) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Доказ:

1)Вынік 1 з т-мы Штэйніца

2)Няхай (1)–некаторы базіс праст. V.

b₁,b₂ …, b_n –лін. нез. сіс-ма вектараў з V. Гэтая сіс-ма лін. выражаецца праз (1) і паводле т-мы Штэйніца яна эквівалентн.(1) і зн. з’яул. Базісам.

3)c₁ , c₂ …, c_m, m<n – лін. нез. Паводле т-мы Штэйніца яе можна дапоуніць да сіс-мы

c₁ , c₂ …, c_m ,a_i1, a_i2, ... a_in-m (2) ~(1), зн. V лін. выражаецца праз(2). (2)- лін.нез. бо у адваротным выпадку некаторы вектар гэтай сіс-мы лін. выражауся б праз астатнія. І выдаліушы гэты вектар мы б атрымалі сіс-му з m-1 вектарау ~(2), праз якую выраж. базіс(1). Супярэчнасць т-ме Штэйніца.

 

6.Ранг матрыцы.Тэарэма пра ранг матрыц. Вынікі з т-мы пра ранг м-цы

Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn.Слупкі м-цы А будзем разглядаць як элементы прасторы P^m.

Азн. Рангам м-цы наз. ранг сіс-мы яе слупкоу(максімальная колькасць лін.нез. слупкоу).

Азн. Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn і няхай у А выдзелены радкі з нумарамі і₁ , і₂ ,…, і_k і слупкі з нумарамі

j₁, j₂ ,…, j_k (k≤m,n). У выніку атрымаецца м-ца парадку k складзеная з элементау якія стаяць на перасячэнні вылучаных радкоу і слупкоу. Det гэтай м-цы наз. мінорам к-тага парадку або ступені м-цы А.

Азн. Мінор М парадку r м-цы А наз. базісным мінорам калі

1) М≠0

2) усе міноры большых парадкау(калі яны ёсць) роуныя 0.

Лема:Калі слупкі(радкі),квадратнай м-цы лін.зал.,тады яе det=0.

Доказ: АÎP_nxn, n=1 – сцвердж. відавочна.Пры n>1 паводле сцвердж. пра рангі эквів. мн-вау некаторы слупок(радок) м-цы А лін. выражаецца праз астатнія. Адсюль detА=0.

Тэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна. Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m, s=r+1,n, detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k - (3) адвольная сіс-ма вектарау з V. А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji)= (А₁ , А₂ ,…, А_k) ÎP_nxk.

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3) (3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4) v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

 

 

7.Тэарэма пра ранг матрыцы. Вынікі з тэарэмы пра ранг м-цы.Ранг здабытку матрыцаўТэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m, s=r+1,n, detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k - (3) адвольная сіс-ма вектарау з V. А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji)= (А₁ , А₂ ,…, А_k) ÎP_nxk.

 

 

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3)(3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4)v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

Сцвердж. Ранг здабытку 2 м-цаў не вышэйшы за ранг кожн. сумножніку. Калі адна з м-цаў квадратная незвыродная,тады ранг м-цы роўны рангу другога сумножніка.

Доказ: Калі U,W ÌV і U лін. выражаецца праз W, тады ранг U меншы ці роуны за ранг W(rankU £ rankW). Сапрауды U лін. выраж. праз W і L(U) Ì L(W) → dim L(U) £ L(U) £ dim L(W)=rankW.

З азн. Здабытку матрыц вынікае што радкі м-цы АВ лін. выраж. праз радкі В а слупкі лін. выраж. праз слупкі А → rankAB £rankВ, rankAB £rankA. Калі │А│≠0 тады $А^-1 В= А^-1 (АВ) → rankB £ rankAB → rankB=rankAB. Калі │В│≠0 аналаг. rankAB= rankA.