Якщо не існує скінченої границі послідовності, то ряд називається розбіжним.

-Нехай маємо ряд , тоді , де та . У збіжних рядів загальний член ряду завжди прямує до нуля при . Це називається необхідною умовою збіжності. Відповідно можна стверджувати, що коли загальний член ряду не прямує до нуля ряд є розбіжним. Це називається достатньою ознакою розбіжності.

Ряд вигляду називається гармонічним. Таким чином маємо в результаті чого залишок суми ряду завжди більший за 1/2, а отже у відповідності до критерію Коші ряд є розбіжним. Ряд вигляду називається узагальненим гармонічним.

Будь-який ряд можна записати у вигляді , де , при цьому величина називається залишком (хвостом) ряду.

Властивості збіжних рядів:

Якщо , то

Якщо і , то

, де та . Це є необхідною умовою збіжності.

, де та .

Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами

Перша ознака порівняння.

Нехай маємо ряди та , при цьому для всіх значень виконується нерівність , тоді:

Із збіжності першого ряду випливає збіжність другого ряду.

Із розбіжності другого ряду випливає розбіжність першого ряду.

Гранична ознака порівняння.

Нехай для членів рядів та існує скінченна границя , причому . Тоді ці ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення: (доведемо, що, якщо другий ряд розбігається, то перший також розбігається):

Для будь-якого знайдеться такий номер починаючи з якого , де . Таким чином . Отже відповідний „хвіст” першого ряду більший за хвіст другого ряду помноженого на . Оскільки відповідно до критерію Коші „хвіст” другого ряду не прямує до нуля, то не прямує до нуля і „хвіст” першого ряду, що свідчить про його розбіжність.

:

Ознака Д’Аламбера. Радикальна та Інтегральна ознаки Коші.

Ознака Д’Аламбера.

Якщо для ряду , існує границя , то при - ряд розбіжний; при - ряд збіжний; при - ряд вимагає дослідження за допомогою інших ознак.

Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду існує границя , то при - ряд розбіжний, при - ряд збіжний і при - ряд потребує подальшого дослідження іншим методом.

Доведемо, що ряд збіжний при .

Для будь-якого , існує таке , що при , звідси виходить, що

, що й треба було довести

Інтегральна ознака Коші.

Таким чином, якщо ряд збіжний, то збіжним є і невласний інтеграл

Отже, розглянутий вище ряд та невласний інтеграл першого роду збіжні чи розбіжні одночасно.

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

Означення: Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як невід’ємні, так і від’ємні числа.

Ознака Лейбніца: Нехай члени знакопочережного ряду прямують до нуля, складаючи при цьому спадну за абсолютною величиною послідовність, тоді такий ряд є збіжний.

Доведення: Розглянемо ряд ; ; , припустимо, що додатними є члени ряду з непарними номерами , , ,...; а від’ємними – члени ряду з парними номерами: , , ,....

Розглянемо частинні суми окремо з парними і окремо з непарними номерами: , отже у випадку частинних сум з парними номерами ми маємо зростаючу послідовність, в той же час

, тобто ця послідовність обмежена зверху, і, відповідно, прямує до певної границі:

. Оскільки то , що й треба було довести.

Знакозмінні ряди. Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.

Знакозмінний ряд є збіжним абсолютно, якщо збігається ряд складений з абсолютних величин його членів.

Якщо знакозмінний ряд збіжний, але ряд складений з абсолютних величин його членів розбіжний, то такий ряд називається збіжним умовно.

Властивості АЗР, можна сказати, що вони такі ж як у рядів з додатними членами:

Якщо , то

Якщо і , то

, де та . Це є необхідною умовою збіжності.

, де та .

Якщо ряд є абсолютно збіжний, то довільний ряд, утворений з нього перестановкою його членів також є абсолютно збіжний.

Властивості УЗР:

В УЗР кількість додатних та від’ємних членів нескінченна;

Ряди складені з сум додатних та від’ємних членів УЗР – розбіжні;

Теорема Рімана: якщо знакозмінний ряд є збіжним, то шляхом перестановки його членів, його суму можна зробити рівною будь-якому наперед заданому числу.

Функціональні ряди.

Нехай послідовність функцій. Якщо при фіксованому значенні числова послідовність є збіжною до числа , то кажуть, що число належить області збіжності вказаної послідовності. Сукупність значень при яких послідовність є збіжною, називається областю збіжності даної послідовності, а функція визначена для значень х із цієї області називається границею даної послідовності.

Означення: Функціональна послідовність (функціональний ряд) називається рівномірно збіжною (рівномірно збіжним) на деякому інтервалі до функції . Якщо для будь-якого знайдеться таке, що для будь-якого при виконується нерівність або .

Ознака Вейєрштраса: Нехай для ряду існує збіжний числовий ряд , такий що при всіх значеннях і довільних з інтервалу виконується нерівність: , тоді функціональний ряд збігається рівномірно для .

Доведення: