Кафедра медико-биологических основ физического воспитания

Кафедра медико-биологических основ физического воспитания

 

Ю.О. Волков, Ю.Г. Рудницкая

 

Практикум по дисциплине

Спортивная метрология

для студентов факультета физического воспитания

(адаптированный для студентов заочной формы получения образования)

 

Минск 2015

 

Авторы: Ю.О. Волков

Ю.Г. Рудницкая

 

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом БГУФК

Рецензенты:

Предисловие

Метрология («метрон» – мера, «логос» – наука, слово) – наука об измерениях. Основной задачей метрологии является обеспечение единства и точности измерений.

Спортивная метрология как часть общей метрологии является наукой об измерениях в физической культуре и спорте. Результаты измерений в спортивной метрологии в большинстве случаев следует рассматривать как случайные величины, что является одной из особенностей дисциплины. Поэтому при обработке результатов измерений в физической культуре и спорте применяются методы математической статистики.

Математическая статистика – это раздел математики, посвящённый методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Трудно найти современную область научных исследований, где бы не использовались методы математической статистики. В последнее время они нашли широкое применение в медицине, психологии, социологии, педагогике, физической культуре и спорте, т.е. в областях, сравнительно недавно считавшихся далёкими от математики. Математическая статистика также стала неотъемлемым инструментарием учебной дисциплины «Спортивная метрология».

Данный практикум рекомендован студентам факультета физического воспитания БГПУ имени М.Танка, изучающим учебную дисциплину «Спортивная метрология».

Успешное освоение предлагаемого в издании учебного материала способствует приобретению будущими специалистами в области спортивной педагогики навыков применения наиболее распространенных и достаточно эффективных методов контроля состояния учащегося, спортсмена и математико-статистической обработки результатов.

Учебный материал представлен в форме, сочетающей элементы лабораторного практикума и деловой игры, позволяющей развивать у студентов творческое мышление при решении педагогических задач и быстро адаптироваться в профессиональном отношении после окончания учреждения высшего образования.

Данное пособие содержит теоретические сведения по темам каждого этапа лабораторного практикума, подробные алгоритмы выполнения расчётов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel и оформления отчёта в электронном виде. В качестве заготовок таблиц для оформления отчёта студентам предоставляется пакет файлов Excel с образцами отчёта. Все математические выражения даются без доказательств в окончательном виде.

Для успешного выполнения практикума студенту необходимо получить навыки работы в электронных таблицах Microsoft Excel, а именно: научиться производить вычисления с помощью формул и функций, строить диаграммы.

Отчет студента представляется руководителю игры в файлах Microsoft Excel (каждому этапу работы соответствует отдельный файл). Файлы-разделы отчёта оформляются с использованием образцов оформления таблиц, выдаваемых студенту в начале прохождения практикума. Руководитель (преподаватель) накапливает файлы в отдельной папке, названной по фамилии и имени студента, и хранит их до аттестации студента по учебной дисциплине. Обязательными условиями допуска студента к экзамену по спортивной метрологии являются:

1) оформление отчётов в электронных таблицах Microsoft Excel по всем этапам лабораторного практикума;

2) теоретическая защита каждого этапа в виде тестового контроля знаний;

3) прохождение итогового собеседования с преподавателем.

Студенты, обучающиеся по индивидуальному графику, обязаны на одном из первых занятий получить у преподавателя исходные данные для выполнения лабораторного практикума. По мере оформления отчётов студент обязан в присутствии преподавателя пройти контроль знаний по темам этапов практикума, а по окончании работы – итоговое собеседование с преподавателем.

1. Контроль в физическом
воспитании и спорте

Физическое воспитание и спортивная тренировка – не стихийный, а управляемый процесс. В каждый момент времени человек находится в определенном физическом состоянии, которое определяется, главным образом, здоровьем (соответствием показателей жизнедеятельности норме, степенью устойчивости организма к неблагоприятным внезапным воздействиям), телосложением и состоянием физических функций.

Физическим состоянием человека целесообразно управлять, изменяя его в нужном направлении. Это управление осуществляется средствами физического воспитания и спорта, к которым, в частности, относятся физические упражнения.

Это только кажется, что преподаватель (или тренер) управляет физическим состоянием, воздействуя на поведение спортсмена, т.е. предлагая определенные физические упражнения, а также контролируя правильность их выполнения и получаемые при этом результаты. В действительности же поведением спортсмена управляет не тренер, а сам спортсмен. В ходе спортивной тренировки оказывается воздействие на самоуправляемую систему (организм человека). Индивидуальные различия в состоянии спортсменов не дают уверенности в том, что одно и то же воздействие вызовет одинаковую ответную реакцию. Поэтому актуален вопрос об обратной связи: информации о состоянии спортсмена, поступающей тренеру в ходе контроля тренировочного процесса.

Контроль в физическом воспитании и спорте базируется на измерениях показателей, отборе наиболее существенных и их математической обработке.

Управление учебно-тренировочным процессом включает в себя три стадии:

1) сбор информации;

2) ее анализ;

3) принятие решений (планирование).

Сбор информации обычно осуществляется во время комплексного контроля, объектами которого являются:

1) соревновательная деятельность;

2) тренировочные нагрузки;

3) состояние спортсмена.

Различают (В.А. Запорожанов) три типа состояний спортсмена в зависимости от длительности промежутка, необходимого для перехода из одного состояния в другое.

1. Этапное (перманентное) состояние. Сохраняется относительно долго – недели или месяцы. Комплексная характеристика этапного состояния спортсмена, отражающая его возможности к демонстрации спортивных достижений, называется подготовленностью, а состояние оптимальной (наилучшей для данного цикла тренировки) подготовленности – спортивной формой. Очевидно, что в течение одного или нескольких дней нельзя достигнуть состояния спортивной формы или утратить его.

2. Текущее состояние. Изменяется под влиянием одного или нескольких занятий. Нередко последствия участия в соревнованиях или выполненной на одном из занятий тренировочной работы затягиваются на несколько дней. В этом случае спортсмен обычно отмечает явления как неблагоприятного характера (например, мышечные боли), так и позитивного (например, состояние повышенной работоспособности). Такие изменения называют отставленным тренировочным эффектом.

Текущее состояние спортсмена определяет характер ближайших тренировочных занятий и величину нагрузок в них. Частный случай текущего состояния, характеризующийся готовностью к выполнению в ближайшие дни соревновательного упражнения с результатом, близким к максимальному, называется текущей готовностью.

3. Оперативное состояние. Изменяется под влиянием однократного выполнения физических упражнений и является временным (например, утомление, вызванное однократным пробеганием дистанции; временное повышение работоспособности после разминки). Оперативное состояние спортсмена изменяется в ходе тренировочного занятия и должно учитываться при планировании интервалов отдыха между подходами, повторными забегами, при решении вопроса о целесообразности дополнительной разминки и т.п. Частный случай оперативного состояния, характеризующийся немедленной готовностью к выполнению соревновательного упражнения с результатом, близким к максимальному, называется оперативной готовностью.

 

В соответствии с приведенной классификацией выделяют три основных вида контроля состояния спортсмена:

1) этапный контроль. Его цель – оценить этапное состояние (подготовленность) спортсмена;

2) текущий контроль. Его основная задача – определить повседневные (текущие) колебания в состоянии спортсмена;

3) оперативный контроль. Его цель – экспресс-оценка состояния спортсмена в данный момент.

 

Основные понятия теории тестов

Измерение или испытание, проводимое с целью определения состояния или способностей спортсмена, называется тестом. Процедура измерений или испытаний называется тестированием.

Любой тест включает в себя измерение. Но не всякое измерение служит тестом. В качестве тестов могут быть использованы лишь те, которые удовлетворяют следующим метрологическим требованиям:

1) цель;

2) стандартизация;

3) наличие системы оценок;

4) надёжность и информативность (добротность) тестов;

5) вид контроля (этапный, текущий или оперативный).

Тест, в основе которого лежат двигательные задания, называется двигательным. Существует три группы двигательных тестов:

1. Контрольные упражнения, выполняя которые спортсмен получает задание показать максимальный результат. Результатом теста является двигательное достижение. Например, время, за которое спортсмен пробегает дистанцию 100 м.

2. Стандартные функциональные пробы, в ходе которых задание, одинаковое для всех, дозируется либо по величине выполненной работы, либо по величине физиологических сдвигов. Результатом теста являются физиологические или биохимические показатели при стандартной работе либо двигательные достижения при стандартной величине физиологических сдвигов. Например, процент увеличения ЧСС после 20 приседаний или скорость, с которой бежит спортсмен при фиксируемой величине ЧСС 160 ударов в минуту.

3. Максимальные функциональные пробы, в ходе которых спортсмен должен показать максимальный результат. Результатом теста являются физиологические или биохимические показатели при максимальной работе. Например, максимальное потребление кислорода или максимальная величина кислородного долга.

Высококачественное тестирование предполагает знание теории измерений.

 

Основные понятия теории измерений

Измерение – это выявление соответствия между изучаемым явлением с одной стороны, и числами – с другой.

Основы теории измерений составляют три понятия: шкалы измерений, единицы измерений и точность измерений.

Шкалы измерений

Шкала измерения – это закон, по которому численное значение присваивается измеряемому результату по мере его возрастания или убывания. Рассмотрим некоторые из применяемых в спорте шкал.

Шкала наименований (номинальная шкала)

Это самая простая из всех шкал. В ней числа выполняют роль ярлыков и служат для обнаружения и различения изучаемых объектов (например, нумерация игроков футбольной команды, номер учебной группы). Числа, составляющие шкалу наименований, разрешается менять местами. В этой шкале нет отношений типа «больше-меньше», поэтому некоторые полагают, что применение шкалы наименований не стоит считать измерением. При использовании шкалы наименований могут проводиться только некоторые математические операции. Например, ее числа нельзя складывать или вычитать, но можно подсчитывать, сколько раз (как часто) встречается то или иное число.

Шкала порядка

Есть виды спорта, где результат спортсмена определяется только местом, занятым на соревнованиях (например, единоборства). После таких соревнований ясно, кто из спортсменов сильнее, а кто слабее. Но насколько сильнее или слабее, сказать нельзя. Если три спортсмена заняли соответственно первое, второе и третье места, то каково различие в их спортивном мастерстве, остается неясным: второй спортсмен может быть почти равен первому, а может быть существенно слабее его и быть почти одинаковым с третьим. Места, занимаемые в шкале порядка, называются рангами, а сама шкала называется ранговой или неметрической. В такой шкале составляющие ее числа упорядочены по рангам (т.е. занимаемым местам), но интервалы между ними точно измерить нельзя. В отличие от шкалы наименований шкала порядка позволяет не только установить факт равенства или неравенства измеряемых объектов, но и определить характер неравенства в виде суждений: «больше-меньше», «лучше-хуже» и т.п.

С помощью шкал порядка можно измерять качественные, не имеющие строгой количественной меры, показатели. Особенно широко эти шкалы используются в гуманитарных науках: педагогике, психологии, социологии. Например, рейтинг испытуемых, оценки, выставляемые судьями в фигурном катании, художественной гимнастике.

К рангам шкалы порядка можно применять большее число математических операций, чем к числам шкалы наименований.

Шкала интервалов

Это шкала, в которой числа не только упорядочены по рангам, но и разделены определенными интервалами. Особенность, отличающая ее от описываемой дальше шкалы отношений, состоит в том, что нулевая точка выбирается произвольно. Примерами могут быть: календарное время (начало летоисчисления в разных календарях устанавливалось по различным причинам), суставной угол (угол в локтевом суставе при полном разгибании предплечья может приниматься равным либо нулю, либо 180⁰), температура, потенциальная энергия поднятого груза, потенциал электрического поля и др.

Результаты измерений по шкале интервалов можно обрабатывать всеми математическими методами, кроме вычисления отношений. Данные шкалы интервалов дают ответ на вопрос: «На сколько больше?», но не позволяют утверждать, что одно значение измеренной величины во столько-то раз больше или меньше другого. Например, если температура повысилась с 10 до 20 ⁰C, то нельзя сказать, что стало в два раза теплее.

Шкала отношений

Эта шкала отличается от шкалы интервалов тем, что в ней нулевая точка не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого признака. Благодаря этому шкала отношений не накладывает никаких ограничений на математический аппарат, используемый для обработки результатов наблюдений.

В спорте по шкале отношений измеряют расстояние, силу, скорость и десятки других переменных. По шкале отношений измеряют и те величины, которые образуются как разности чисел, отсчитанных по шкале интервалов. Так, календарное время отсчитывается по шкале интервалов, а интервалы времени – по шкале отношений.

При использовании шкалы отношений (и только в этом случае!) измерение какой-либо величины сводится к экспериментальному определению отношения этой величины к другой подобной, принятой за единицу. Измеряя длину прыжка, мы узнаем, во сколько раз эта длина больше длины другого тела, принятого за единицу длины (метровой линейки в частном случае); взвешивая штангу, определяем отношение ее массы к массе другого тела – единичной гири «килограмма» и т.п.

Если ограничиться только применением шкал отношений, то можно дать другое (более узкое, частное) определение измерению: измерить какую-либо величину – значит найти опытным путем ее отношение к соответствующей единице измерения.

 

Единицы измерений

Чтобы результаты разных измерений можно было сравнить друг с другом, их выражают в одних и тех же единицах. Совокупность установленных определённым образом единиц для всех физических величин называют системой единиц.

В 1960 году на Международной генеральной конференции по мерам и весам была принята Международная система единиц, получившая сокращенное название СИ (от начальных букв слов System International). В настоящее время установлено предпочтительное применение этой системы во всех областях науки и техники, в народном хозяйстве, а также при преподавании.

СИ в настоящее время включает семь независимых друг от друга основных единиц (см. табл. 1).

 

Таблица 1 – Основные единицы СИ

Величина	Размер- ность	Единицы
Название	Обозначение
Русское	Междунар.
Длина	l	Метр	м	m
Масса	m	Килограмм	кг	kg
Время	t	Секунда	с	s
Сила электрического тока	I	Ампер	А	A
Температура	Q	Кельвин	К	K
Количество вещества	N	Моль	моль	mol
Сила света	g	Кандела	кд	cd

 

Кроме основных, в СИ выделены две дополнительные единицы: радиан – единица плоского угла и стерадиан – единица телесного угла (угла в пространстве).

Из указанных основных единиц в качестве производных выводят единицы других физических величин. Производные единицы определяются на основе формул, связывающих между собой физические величины. Например, единица длины (метр) и единица времени (секунда) – основные единицы, а единица скорости (метр в секунду) – производная. Производными являются также единицы площади – м², силы – Ньютон (кг×м/с²) и другие.

Путём добавления приставок получают кратные и дольные единицы. Например: километр, сантиметр, миллиграмм.

Существуют также внесистемные единицы, которые продолжают использовать наряду с единицами СИ: минута, час, мм. рт. ст., литр, тонна, калория и др.

 

Точность измерений

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Результат измерения неизбежно содержит погрешность, величина которой тем меньше, чем точнее метод измерения и измерительный прибор. Например, с помощью обычной линейки с миллиметровыми делениями нельзя измерить длину с точностью до 0,01 мм.

По происхождению различают основную и дополнительную погрешности.

Основная погрешность – это погрешность метода измерения или измерительного прибора, которая имеет место в нормальных условиях их применения.

Дополнительная погрешность – это погрешность измерительного прибора, вызванная отклонением условий его работы от нормальных. Понятно, что прибор, предназначенный для работы при комнатной температуре, будет давать неточные показания, если пользоваться им летом на стадионе под палящим солнцем или зимой на морозе. Погрешности измерения могут возникать в том случае, когда напряжение электрической сети или батарейного источника питания ниже нормы или непостоянно по величине.

По способу выражения погрешности бывают абсолютные и относительные.

Величина X – A, равная разности между истинным значением измеряемой величины (X) и показанием измерительного прибора (A), называется абсолютной погрешностью измерения. Она измеряется в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. На практике часто используется отношение X – A к A, называемое относительной погрешностью измерения. Для характеристики погрешности обычно указывают ее границы.

Число Δ(А) такое, что

,

называется границей абсолютной погрешности.

Число δ(А) такое, что

,

называется границей относительной погрешности. Границы относительной погрешности часто выражают в процентах.

Относительная погрешность измерения бывает двух видов – действительной и приведенной. Действительной относительной погрешностью называется отношение границы абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

.

Приведенная относительная погрешность – это отношение границы абсолютной погрешности к максимально возможному значению измеряемой величины:

.

Тот факт, что А является приближенным значением числа Х с границей абсолютной погрешности Δ(А) принято записывать в виде

.

Аналогичное соотношение для относительной погрешности имеет вид

.

Границы абсолютной и относительной погрешностей указывают на максимально возможное расхождение значений Х и А.

По изменчивости различают систематическую и случайную погрешности.

Систематической называется погрешность, величина которой не меняется от измерения к измерению. В силу этой своей особенности систематическая погрешность часто может быть предсказана заранее или, в крайнем случае, обнаружена и устранена по окончании процесса измерения.

Способ устранения систематической погрешности зависит в первую очередь от ее природы. Систематические погрешности измерения можно разделить на три группы:

1) погрешности известного происхождения и известной величины;

2) погрешности известного происхождения, но неизвестной величины;

3) погрешности неизвестного происхождения и неизвестной величины.

Самые безобидные – погрешности первой группы. Они легко устраняются путем введения соответствующих поправок в результат измерения.

Ко второй группе относятся прежде всего погрешности, связанные с несовершенством метода измерения и измерительной аппаратуры. Например, погрешность измерения физической работоспособности с помощью маски для забора выдыхаемого воздуха: маска затрудняет дыхание, и спортсмен закономерно демонстрирует физическую работоспособность, заниженную по сравнению с истинной, измеряемой без маски. Величину этой погрешности нельзя предсказать заранее: она зависит от индивидуальных способностей спортсмена и его самочувствия в момент исследования.

Другой пример систематической погрешности этой группы – погрешность, связанная с несовершенством аппаратуры, когда измерительный прибор заведомо завышает или занижает истинное значение измеряемой величины, но величина погрешности неизвестна.

Погрешности третьей группы наиболее опасны, их появление бывает связано как с несовершенством метода измерения, так и с особенностями объекта измерения – спортсмена.

Случайные погрешности возникают под действием разнообразных факторов, которые ни предсказать заранее, ни точно учесть не удается. Случайные погрешности принципиально не устранимы. Однако, воспользовавшись методами математической статистики, можно оценить величину случайной погрешности и учесть ее при интерпретации результатов измерения. Без статистической обработки результаты измерений не могут считаться достоверными.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Содержание и задачи деловой игры.

2. Контроль в физическом воспитании и спорте:

2.1. Стадии управления учебно-тренировочным процессом.

2.2. Объекты комплексного контроля.

2.3. Разновидности состояния спортсмена.

3. Основы теории тестов.

3.1. Что называют тестом? Требования к тестам.

3.2. Классификация двигательных тестов.

4. Основы теории измерений.

4.1. Что называют измерением?

4.2. Шкалы измерений.

4.3. Единицы измерений.

4.4. Основная и дополнительная погрешности.

4.5. Абсолютная и относительная погрешности.

4.6. Систематическая и случайная погрешности.

 

Меры центральной тенденции

Центральную тенденцию выборки позволяют оценить такие статистические характеристики, как среднее арифметическое значение, мода, медиана.

Наиболее просто получаемой мерой центральной тенденции является мода. Мода (Мо) – это такое значение в множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. В совокупности значений (2, 6, 6, 8, 7, 33, 9, 9, 9, 10) модой является 9, потому что оно встречается чаще любого другого значения. В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что эта группа не имеет моды.

Когда два соседних значения в ранжированном ряду имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты, и они больше частот любого значения, то существуют две моды (например, в совокупности значений 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются 11 и 14); в таком случае группа измерений или оценок является бимодальной.

Наибольшей модой в группе называется единственное значение, которое удовлетворяет определению моды. Однако во всей группе может быть несколько меньших мод. Эти меньшие моды представляют собой локальные вершины распределения частот.

Медиана (Me) – середина ранжированного ряда результатов измерений. Если данные содержат четное число различных значений, то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют по формуле:

, (2.2)

где . Например, для данных 4,1; 4,4; 4,5; 4,7; 4,8 вычислим :

.

Каждая из выше вычисленных мер центра является наиболее пригодной для использования в определенных условиях.

Мода вычисляется наиболее просто – ее можно определить на глаз. Более того, для очень больших групп данных это достаточно стабильная мера центра распределения.

Медиана занимает промежуточное положение между модой и средним с точки зрения ее вычисления. Эта мера получается особенно легко в случае ранжированных данных.

Среднее множество данных предполагает в основном арифметические операции.

На величину среднего влияют значения всех результатов. Медиана и мода не требуют для определения всех значений. Посмотрим, что произойдет со средним, медианой и модой, когда удвоится максимальное значение в следующем множестве:

Me Мо

Множество 1: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 33/7 5 3

Множество 2: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 41/7 5 3

 

На величину среднего особенно влияют результаты, которые называют “выбросами”, т.е. данные, находящиеся далеко от центра группы оценок.

 

Характеристики вариации

К характеристикам вариации, или колеблемости, результатов измерений относят размах варьирования, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, стандартную ошибку средней арифметической.

Самой простой характеристикой вариации является размах варьирования. Его определяют как разность между наибольшим и наименьшим результатами измерений. Однако он улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Чтобы дать обобщающую характеристику, можно вычислить отклонения от среднего результата. Например, для ряда 3, 6, 3 значения будут следующими: 3 – 4 = – 1; 6 – 4 = 2; 3 – 4 = – 1. Сумма этих отклонений (– 1) + 2 + (– 1) всегда равна 0. Чтобы избежать этого, значения каждого отклонения возводят в квадрат: (– 1)² + 2² + (– 1)² = 6.

Значение делает отклонения от средней более явственными: малые отклонения становятся еще меньше (0,5²=0,25), а большие – еще больше (5² = 25). Получившуюся сумму называют суммой квадратов отклонений. Разделив эту сумму на число измерений, получают средний квадрат отклонений, или дисперсию. Она обозначается s² и вычисляется по формуле:

. (2.3)

Если число измерений не более 30, т.е. n ≤ 30, используется формула:

. (2.4)

Величина n – 1 = k называется числом степеней свободы, под которым подразумевается число свободно варьирующих членов совокупности. Установлено, что при вычислении показателей вариации один член эмпирической совокупности всегда не имеет степени свободы.

Эти формулы применяются, когда результаты представлены неупорядоченной (обычной) выборкой.

Из характеристик колеблемости наиболее часто используется среднее квадратическое отклонение, которое определяется как положительное значение корня квадратного из значения дисперсии, т.е.:

. (2.5)

Среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах и имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения.

Однако для сравнения колеблемости двух и более совокупностей, имеющих различные единицы измерения, эта характеристика не пригодна.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Вычисляется он по формуле:

.

В спортивной практике колеблемость результатов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации считают малой
(0 – 10 %), средней (11 – 20 %) и большой (V > 20 %).

Коэффициент вариации имеет большое значение в спортивной метрологии, т. к., будучи величиной относительной (измеряется в процентах), позволяет сравнивать между собой колеблемость результатов измерений, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации можно использовать лишь в том случае, если измерения выполнены в шкале отношений.

 

ОШИБКИ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ

Возможные отклонения выборочных показателей от их параметров в генеральной совокупности называются ошибками репрезентативности.

Эти ошибки неизбежны и возникают потому, что исследованию подвергается не вся генеральная совокупность, а только ее малая доля (выборка).

Это ошибки не технические, а статистические, возникающие не в процессе измерений или учета единиц совокупности и не вследствие вычислительной работы, а исключительно в силу недостаточной точности, с какой выборка представляет собой генеральную совокупность. Но, как и ошибки, допускаемые при измерении, выборочные ошибки, или ошибки репрезентативности, могут быть и случайными, и систематическими. Первые возникают независимо от воли экспериментатора, вторые являются следствием несоблюдения условий репрезентативности при образовании выборочной совокупности.

Систематические ошибки снимаются с устранением вызывающих их причин, главным образом, при соблюдении принципа рандомизации, который предполагает, что доброкачественная выборка должна быть объективной, т.е. производиться без предвзятых побуждений, при исключении субъективных влияний на ее состав.

Случайные же ошибки репрезентативности остаются и должны учитываться при оценке генеральных параметров по данным выборочных наблюдений. При сплошном изучении генеральной совокупности ошибки репрезентативности не имеют места.

Размеры выборочных ошибок зависят главным образом от объема выборки и от размаха варьирования. В частности, чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя характеристика отличается от генеральной средней. Следовательно, при увеличении числа испытаний ошибка выборочной средней будет уменьшаться, т.е. при ; . На величину средней ошибки влияет также размах варьирования признака: чем больше размах варьирования, тем больше будет и величина выборочной ошибки, при сравнительно слабом варьировании признака ошибка средней арифметической оказывается меньше.

Приведем некоторые формулы, на основании которых можно:

1) судить о точности результатов, полученных в ряде экспериментов;

2) сравнивать две выборки или решать, принадлежат ли они одной или разным генеральным совокупностям.

Предположим, что проводился статистический анализ антропометрических данных баскетболистов высокого класса. При этом у группы баскетболистов из 10 человек измерялся рост. Расчет основных статистических характеристик показал: среднее арифметическое значение роста баскетболистов высокого класса, входящих в исследуемую выборку, составило 195 см при колебаниях σ = 8,8 см. Какие вариации исследуемого признака могут быть в действительности у всех баскетболистов высокого класса, составляющих генеральную совокупность?

Правило трех сигм позволяет грубо определить, относится ли то или иное измерение к соответствующей генеральной совокупности или же к другой совокупности.

Чтобы предсказать процент, в котором будут встречаться в действительности те или иные величины роста, надо установить необходимый диапазон вариаций. Условимся считать границами нормы ; т.е. () см, или, иначе, диапазон от (195 - 26,4) см до (195 + 26,4) см.

Если выборка сделана правильно (т.е. различные величины роста баскетболистов находятся в ней примерно в тех же соотношениях, что и в генеральной совокупности), то согласно статистическим исследованиям в диапазон от 168,6 до 221,4 см должны войти 99,7% всех значений роста баскетболистов высокого класса.

 

Основы теории корреляции

Корреляционное поле

Анализ взаимосвязи начинается с графического представления результатов измерений в прямоугольной системе координат. Предположим, что у шести испытуемых зарегистрирован такой показатель, как число подтягиваний на перекладине, до начала подготовительного периода тренировки (X) и после его окончания (Y). Запишем результаты измерений:

 

 

№ испытуемого	X	Y

 

Для этих результатов построим график, на оси абсцисс которого отложим результаты X, а на оси ординат – результаты Y. Таким образом, каждая пара результатов в прямоугольной системе координат будет отображаться точкой (рис. 6).

Рисунок 6 – Корреляционное поле (линейная зависимость)

 

Такая графическая зависимость называется диаграммой рассеивания или корреляционным полем.

Визуальный анализ графика позволяет выявить форму зависимости (по крайней мере, сделать предположение). В данном случае эта форма близка к обычной геометрической фигуре – эллипсу. Такую форму мы будем называть линейной зависимостью или линейной формой взаимосвязи.

Однако на практике можно встретить и иную форму взаимосвязи (например, рис. 7). Эта зависимость, экспериментально полученная при подачах в теннисе, является характерной для нелинейной формы взаимосвязи, или нелинейной зависимости.

 

Рисунок 7 – Корреляционное поле (нелинейная зависимость): по абсциссе – скорость ракетки, по ординате – скорость вылета мяча