Лекция № 1. Характеристика электронных программных средств обучения математике как средства формирования пространственных представлений школьников (психолого-педагогические и методические аспекты)

Лекция № 4. Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, возможности информационных технологий в организации зачётов по теме.

Краткое содержание

В начале лекции рассматривается краткая характеристика содержания темы «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве», её роль в школьном курсе математики. Важность учебного материала темы для дальнейшего изучения курса стереометрии требует особого внимания к организации контроля её усвоения учащимися. Одной из форм такого контроля может быть зачёт. Далее рассматриваем особенности организации зачётов на основе использования при этом ЦОР.

Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).

В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:

1) параллельность прямых в пространстве;

2) параллельность прямой и плоскости;

3) параллельность плоскостей в пространстве;

4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения:

1) определение;

2) признак;

3) вопрос существования и единственности;

4) свойства (для параллельных плоскостей).

Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части:

1) перпендикулярность прямых в пространстве;

2) перпендикулярность прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей.

Содержание темы:

1) перпендикулярность прямых;

2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.

 

При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией.

1. При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методической схемы:

1) формулировка определения учителем;

2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»;

3) логический анализ формулировки определения;

4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием.

3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:

1) мотивация изучения признака;

2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах;

3) формулировка признака;

4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства;

5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями;

6) показ применимости признака на простейшей модели;

7) закрепление при решении задач.

4. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.

5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).

Одной из форм организации контроля знаний, умений и навыков является урок-зачет. В этом случае контроль не преследует цели выставить оценку, а приобретает более диагностическую направленность. На зачет, как правило, выносятся вопросы и задания, соответствующие уровню обязательной подготовки. Если учащийся справляется со всеми заданиями, то он получает "зачет", в противном случае данный материал ученик должен пересдавать. По усмотрению учителя пересдаче может подлежать как весь материал, так и только те виды заданий, с которыми ученик не справился. Зачет может быть:

- открытым (все вопросы и задания известны учащимся);

- закрытым.

Наибольшее распространение находит открытый зачет, а также комбинированная форма, когда часть вопросов известна, а некоторая часть заданий неизвестна.

В зависимости от содержания и способа взаимодействия учителя и учащихся можно выделить различные виды зачетов: текущий и тематический или итоговый зачет по теоретическим вопросам и зачет-практикум, зачет в письменной или устной форме, зачет в форме экзамена или аукциона, дифференцированный зачет и т. д.

Рассмотрим возможные основные этапы подготовки и проведения различных уроков-зачетов.

Открытый текущий зачет по теоретическим вопросам

Такой зачет проводится при лекционном подходе к изучению теоретических вопросов. Приступая к изучению новой темы, учитель сообщает о предстоящем зачете, его содержании и сроке проведения. Основной целью зачета является подготовка всех учащихся к применению теории для решения задач. Поэтому объем обязательных для всех знаний должен содержать лишь необходимый минимум и быть строго определен учителем заранее.

Для проведения такого зачета может быть достаточно одного урока. В начале урока 5-6 наиболее подготовленных учеников по очереди отвечают у доски (т. е. сдают зачет). Затем класс разбивается на группы по 4-5 человек и каждый сдавший зачет у доски теперь уже принимает зачет (в письменной или устной форме) у других учеников. Учитель, со своей стороны, помогает, координирует, контролирует. Такие зачеты дают хорошие результаты, так как многократное повторение обеспечивает понимание и запоминание основных определений, формул и пр. в той мере, в какой это необходимо для выработки умений и навыков.

Зачет такого вида оценивается по двухбалльной системе: "зачет"-"незачет". Получившие "незачет" попадают под пристальное внимание учителя и в ближайшее время, лучше всего на следующий день, пересдают материал. Так как на зачет выносятся вопросы, соответствующие обязательному уровню обучения, то по общепринятой системе оценок это соответствует оценке "3". Если учитель считает необходимым всем выставить общепринятые оценки, то в этом случае необходимо всем желающим предоставить возможность повысить ее до оценки "4" или "5", например, на следующем уроке таким учащимся предлагаются более серьезные вопросы, знание которых свидетельствует о глубоком понимании теории: знание доказательств теорем, вывода формуя, умение обобщать, систематизировать теоретические положения и пр.

Б.Паскаль.

Цели урока:

1) образовательная - научить применять знания при решении нестандартных задач, видеть в них простые составляющие;

2) развивающая — развитие логического и конструктивного мышления, самостоятельной способности учащихся.

3) воспитательная – развить аккуратность при построении, математическую грамотность учащихся, устойчивый интерес к познанию и изучению математики; показать целостность и гармонию окружающего мира, взаимосвязь изучаемых предметов, взаимосвязь разделов математики, красоту математики;

Тип урока: комбинированный.

· Аппаратные ресурсы: компьютеры с локальной сетью, мультимедийный проектор, экран.

· Программные ресурсы: ИИСС Геометрическое конструирование на плоскости и пространстве (НФПК).

План – конспект занятия.

I Актуализация знаний.

Игровой момент перед занятием: разгадывание двух кроссвордов “Тела и фигуры вращения” по группам. Можно завершить в конце занятия, используя новые знания.

“ Тела и фигуры вращения”

Вопросы к кроссворду – 1

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2

По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности.

По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5.. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Эмоциональный настрой.

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.

Также можно предложить учащимся на выбор построить такие тела как: шахматные фигуры, стеклянная и глиняная посуда, космические корабли, ракеты - всё, что нас окружает и может быть получено путем вращения всего лишь одной кривой.

Сообщение о башне для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей - гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

 

 

Задание на дом: сочинить вопросы о телах вращения, стихи или кроссворды.

Требования к разработке теста

• Тест составляется в нескольких вариантах, равнозначных между собой.

• Количество заданий в разных вариантах теста по одной и той же теме должно быть одинаковым.

• Одинаковое количество ответов для выбора в одном и том же тесте (в наших тестах - четыре).

• Задания теста составляются на основе содержания базовой программы и требований к ее усвоению.

• Задания теста должны адекватно отражать знания учащихся по теме.

• Обязательно наличие заданий по всем вопросам изучаемой темы.

• Формулировки заданий должны быть простыми и краткими, а ответ - однозначным.

• Определяемые термины, формулы и тому подобное должны быть ключевыми для данной темы, а их количество не должно превышать одного в каждом задании теста.

• Соответствующие задания каждого варианта отражают один и тот же круг вопросов, хотя в разных вариантах допускается несхожесть их формулировок.

• При составлении вариантов ответа должны учитываться типичные ошибки учеников.

• Обязательно присутствие правильного ответа при случайном характере его расположения в вариантах ответов.

• Желательно в варианты ответов включить такой пункт, как «свой ответ» (четвертый ответ). Наличие этого варианта дает возможность ученику предложить ответ в соответствии со своей логикой рассуждений (может быть, даже ошибочной), снимает его психологическое напряжение, если ответ, который получил он, не соответствует ни одному из трех первых.

• Форма заданий со звездочкой (дополнительных) должна быть нестандартной. Задания такого рода предлагаются в случае досрочного выполнения учеником основной части теста для заполнения избытка его урочного времени. Они оцениваются дополнительно, так как их решение, хотя и основано на программном материале, требует смекалки, выполнения более сложных логических шагов.

• Каждая тестовая работа рассчитывается на 15—25 мин учебного времени.

Электронный тест – это программа, проверяющая знания и умения, осуществляющая фиксацию результата, а также ряд сервисов (возврат к уже выполненному или пропущенному заданию, ограничение времени на тест и т.д.). Открытые системы дают возможность учителю и методисту создавать новые тесты или изменять существующие.

Приведем таблицу сравнительного анализа контроля знаний и умений учащихся различными ЦОР

 

	Математика 5-11. практикум, «Дрофа»	Математика и конструирование «ДОС»	Математика 5-11. Практикум, «1С»	Открытая математика2.5., «ФИЗИКОН»: Планиметрия, Стереометрия, Функции и графики
Типы контрольных заданий	Набор упражнений по каждому параграфу новой темы. Задачи предполагают:	Предлагается набор задач: · построение чертежа по схеме, указывающей объекты и зависимости между ними; · построение на бумаге схемы, отражающей связи между объектами готового чертежа; воспроизведение последовательности построений; исследование результата выполнения команд из меню; · построение геометрического объекта с заданными свойствами; · создание сценария и его использование для получения других чертежей; исследование построенных геометрических объектов и поиск закономерностей.	· Наборы вопросов и задач по каждой главе объединены в единый тест на: § вставку слова; § ввод строки; § ввод числа; § ввод формулы; § построение § доказательство. · Расчетные задачи. · Самопроверка. · Сертификационный тест.
· ввод числа; · ввод формулы; · заполнение пропуска в строке; · доказательство; · исследование; · построение; · расчетные задачи.	· ввод числа; · построение; · конструирование.
Формы заданий	1. Задания с выбором одного правильного варианта ответа (одновариантные). 2. Задания с выбором нескольких правильных вариантов ответа (многовариантные). 3. Задания открытой формы. 4. Задания на установление соответствия.	1. Задания с выбором одного правильного варианта ответа (одновариантные). 2. Задания с выбором нескольких правильных вариантов ответа (многовариантные). 3. Задания открытой формы.	1. Одновариантные задания. 2. Многовариантные задания. 3. Задания открытой формы.
Уровень сложности предлагаемых контрольных заданий	Задания расположены в порядке повышения уровня сложности.	В основном предлагаются задачи повышенной сложности.	В основном предлагаются типовые задачи.
Основные особенности модуля «Журнал»	Выставляется оценка за каждый отдельный набор заданий и за работу со всем материалом. Оценка создает определенный эмоциональный фон и вызывает соответственную эмоциональную реакцию ученика.	Журнала нет. Критерий успешной работы – возникший интерес, понимание и способность к воспроизведению правильных чертежей.	Фиксируются результаты выполнения контрольных заданий. Указывается процент начисленных очков (за каждое задание может быть начислено от 1 то 3 очков в зависимости от сложности задания) количество очков также зависит от количества попыток ввести правильный ответ, времени выполнения.
Учитывается скорость, правильность, количество попыток.	Учитывается правильность ответа. Предоставляется возможность учителю за своим компьютером наблюдать за работой каждого ученика, его успехами.
Некоторые методические особенности контроля	Имеется возможность индивидуализации и дифференциации обучения.	1. Открытость заданий – на первое место при их выполнении ставится не конкретный результат, а процесс его получения. 2. Дифференциация по сложности (обеспечивается самой структурой заданий, включающей обычно три этапа: подготовку к проведению эксперимента, проведение эксперимента, обработку результатов, формирование заключений). 3. Контроль. В ряде заданий любые действия ученика сопровождаются выводом на экран соответствующих сообщений. Но в большей части заданий проверка обеспечивается самой внутренней динамикой среды (например, учащийся «нарисовавший», а не «построивший» фигуру, узнает об этом ровно в тот момент, когда попробует подвинуть ее вершину), что приучает учащихся к добросовестному отношению к учению. 4. Позволяет создавать и использовать задачи-тесты – вопросы с автоматизированной проверкой ответа. 5. В связи с отсутствием возможности сохранения своих разработок, не возможна автоматизированная проверка.	1. Имеются модули «Чертеж», «Графер», «3D-Чертеж», которые также могут использоваться учителем для контроля, но для этого он должен сам подготовить необходимый материал. 2. При выполнении заданий на ввод числа или формулы время, затраченное на реализацию этих действий не учитывается при выставлении оценки. 3. Сложно реализовать дифференциацию обучения, т.к. это требует существенных затрат времени учителя.

В качестве примера демонстрируется в виде презентации тест по теме «Скалярное произведение векторов».

 

Лекция № 8. Использование ресурсов Internet с целью выполнения творческих работ учащихся и подготовки к уроку семинару (математические рефераты, исторические справки, практическое приложение математического материала и др.) на примере изучения геометрических величин.

Краткое содержание

Лекция № 1. Характеристика электронных программных средств обучения математике как средства формирования пространственных представлений школьников (психолого-педагогические и методические аспекты)

Краткое содержание

На лекции рассматриваются основы развития пространственного мышления школьников и выделяются те аспекты проблемы, которые могут быть оптимизированы с помощью электронных программных средств. Приводятся соответствующие примеры.

Формирование пространственных представлений осуществляется через овладение учащимися несколькими группами умений:

– умение представить по чертежу целостный образ геометрической фигуры, взаимное расположение ее элементов;

– умение мысленно изменить положение фигуры – посмотреть с другой стороны;

– умение мысленно расчленить фигуру, составить из нее новый объект;

– умение изобразить фигуру на чертеже, адекватно отразив имеющиеся отношения;

– умение представить фигуру на основе ее словесного описания и т.д.

Формирование перечисленных умений осуществляется в несколько этапов.

На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации.

В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях.

Схема формирования пространственных представлений на I и II этапе следующая:

Модель чертеж представление

На этом этапе с помощью электронных программных средств демонстрируются подвижные чертежи каркасных моделей пространственных тел, а также модели самих тел и анализируется вопрос о том, какой чертёж будет давать более полное представление об объекте. Для этого могут быть использованы материалы готовых программных продуктов «Открытая стереометрия» или «Живая математика», «Математический конструктор», «GeoGebra» и др. Приводятся примеры.

На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. к. в противном случае у школьников будет тормозиться развитие способностей мысленно представлять себе особенности расположения фигуры и ее элементов.

При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия пространственных образов.

С помощью электронных программных средств демонстрируется процесс выполнения чертежа в динамике, самостоятельное выполнение чертежей учащимися с использованием соответствующих программ.

III этап: – овладение умением оперировать образами в измененных условиях. Школьники сначала работают с основным чертежом, который, однако, часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами.

Например: Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Ответ обоснуйте.

Схема формирования пространственных представлений на III этапе:

чертеж модель представление.

Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрирование фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе.

Для формирования пространственного воображения учащихся при изучении геометрии интерактивные задания и трехмерные модели играют особую роль. Используя данные объекты на любом этапе урока, учащиеся могут не только изучить пространственную структуру объемного (трехмерного) объекта, но и, меняя режим отображения объекта, выбрать, например, оптимальное изображение для решения задачи или оптимальное размещение данного трехмерного объекта для изображения его на плоскости.

 

Решение геометрической задачи на первом этапе – это её представление в пространстве, на втором – оптимальное изображение плоскостной или пространственной фигуры на плоскости. И насколько верно будут выполнены задачи первых двух этапов, настолько быстро и правильно будет решена вся задача. Показать правильный чертеж к задаче - почти все равно, что сразу объяснить ее решение, при этом формируется пространственное воображение, а так же умение, вообще, «видеть» чертеж.

Важнейшей отличительной чертой трехмерных моделей является то, что при работе с ними можно в любой момент произвольно изменить ракурс изображения. Очевидно, что работа в такой среде отлично развивает пространственное воображение. Появляется возможность по-новому ставить и решать задачи на построение в пространстве, причем проверить правильность решения можно, взглянув на конструкцию с разных сторон.

Конструктор тела вращения в ИИСС «Геометрическое конструирование на плоскости и в пространстве»

Для развития пространственного воображения на этапе закрепления немаловажную роль играют и иллюстрации. Например, для закрепления понятий объемов сложных пространственных объектов, определений многогранников (выпуклых, невыпуклых), видов сечений (по готовым чертежам).

Словарная статья «Эпициклоида» Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина

Итак, с помощью электронных программных средств демонстрируются

а) интерактивные модели чертежей необходимых пространственных конфигураций, которые дают возможность увидеть, как изменится чертёж, если на фигуру смотреть с другой стороны;

б) готовые чертежи различных проекций пространственных тел, по которым воссоздаётся фигура, выбираются те проекции, которые могут быть для одной фигуры;

в) готовые чертежи пространственных фигур для определения взаимного расположения их частей (например, взаимного расположения прямых или плоскостей).

Приводятся примеры.

IV этап: Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры.

Схема на IV этапе: представление чертеж.

 

Контрольные вопросы:

1. Охарактеризуйте состав умений учащихся, овладение которыми способствует развитию пространственного мышления школьников.

2. Выделите этапы в формировании пространственных представлений школьников. Раскройте сущность каждого.

3. Рассмотрите возможности использования электронных программных средств на первом этапе. Проиллюстрируйте необходимыми примерами.

4. Рассмотрите возможности использования электронных программных средств на втором этапе. Проиллюстрируйте необходимыми примерами

5. Рассмотрите возможности использования электронных программных средств на третьем и четвёртом этапах. Проиллюстрируйте необходимыми примерами

 

Лекция № 2. Использование программных возможностей «Живой математики» и других электронных средств для обучения учащихся решению задач на построение в курсе планиметрии и стереометрии

Краткое содержание

В ходе лекции кратко повторяются теоретические основы обучения учащихся решению задач на построение: этапы изучения задач на построение в школе, методика работы с конкретными задачами. На втором этапе лекции рассматриваются возможности учебно-развивающей творческой среды «Живая математика» и(или) других подобных ей, например, «Математический конструктор». Особо выделяются те возможности, которые могут быть использованы для обучения учащихся решению задач на построение в курсе планиметрии и стереометрии. Демонстрируются соответствующие примеры.

Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:

1. Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.

2. Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.

3. Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.

Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:

1) анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование.

Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно).

В курсе стереометрии учащиеся встречаются с двумя видами задач на построение.

1.Воображаемые построения (В.п.) – формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер.

С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком.

Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение.

Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:

1) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве:

а) прямая и не лежащая на ней точка,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые,

г) три точки, не лежащие на одной прямой.

2) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей.

3) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости.

4) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R.

Выполнение всех остальных построений сводится к конечному числу основных.

2. На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной.

Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников.

С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости.

Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:

1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования

(Иногда используют их комбинацию).

«Живая геометрия»

С её помощью учащиеся могут воссоздать любую геометрическую конфигурацию и изучить её математические свойства, просто перемещая объекты мышью. Все отношения геометрических объектов, заложенные при построении, сохраняются, позволяя ученикам изучить целый комплекс аналогичных случаев за несколько секунд. Значительно облегчается при этом процесс поиска контрпримеров.

Для работы не требуется специальной подготовки, но первоначальными сведениями все же учащихся необходимо вооружить. В верхней горизонтальной строчке находится меню, содержащее команды, которые позволяют выполнять построение геометрических объектов, изменять эти объекты. В левой вертикальной строке окна чертежа находится готовальня с инструментами для выполнения построений. Некоторые из них: стрелка в квадратике -- инструмент «Выделитель», необходимый для выделения объектов; точка в квадратике — инструмент «Точка», создает точки на чертеже; кисть руки в квадратике — инструмент «Текст» для создания надписей на чертежах. Чтобы выбрать из готовальни любой инструмент, необходимо щелкнуть мышью на его значке, инструмент высветится и будет активным до тех пор, пока не выбран другой.

Возможности использования рассматриваемого электронного средства.

· предъявление подвижных зрительных образов в качестве основы для осознанного овладения математическими фактами, возможность иллюстрации воображаемых построений;