Двійкові, вісімкові та шістнадцяткові числа

У зв’язку з тим, що елементи з двома станами використовуються як базові елементи комп’ютерної техніки, всі числа в комп’ютерах представляються у двійковій системі чис­лення. Розглянемо особливості цієї системи.

Двійкова система числення будується за тим самим правилом, що і десяткова, але в ній використовуються лише дві цифри - 0 та 1. Число у двійковій системі числення за­писується у вигляді:

B=BN-1 BN-2…B1B0B’1B’2…B’m

а значення числа обчислюється за таким виразом:

де:

■ N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

■ М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

■ Bi. - значення і-го розряду (розряди цілої частини),

■ B’i. - значення і-го розряду (розряди дробової частини),

■ B - значення числа.

Приклади двійкових чисел:

 

Часто у розробника, а то і в користувача комп’ютера, виникає потреба в перевірці ко­ректності виконання операцій над двійковими числами комп’ютером або його вузлом.

А оскільки в комп’ютерах опрацьовуються багаторозрядні двійкові числа, і оперувати з такими довгими послідовностями нулів та одиниць (наприклад, рядок із 32 цифр) не­зручно, то набули поширення вісімкова та шістнадцяткова системи числення. У вісімко- вій системі числення використовують вісім цифр від 0 до 7, а у шістнадцятковій системі числення крім десяткових цифр від 0 до 9 використовують 6 літер латинського алфавіту (А, В, С, Б, Е, Б) для позначення цифр від 10 до 15. Значення числа обчислюється за та­ким виразом:

Де:

■ N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

■ М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

■ Hi. - значення і-го розряду (розряди цілої частини),

■ H’i. - значення і-го розряду (розряди дробової частини),

■ H - значення числа.

■ Особливістю цих систем є зручний перехід до двійкової системи та навпаки. Три двійкових розряди переводяться в один вісімковий, а чотири двійкових розряди - в один шістнадцятковий, як показано в табл. 2.1.

Двійкова	Шістна дцятков а	Двійкова	Шістнадцяткова
			А
			В
			С
			Э
			Е
			Р

Наприклад, двійкове число 01101101 у шістнадцятковій системі записуватиметься як 60. Для переведення чисел із шістнадцяткової та вісімкової систем числення у двійкову необхідно кожну цифру числа, яке переводиться, замінити відповідно чотири- або три- розрядним двійковим еквівалентом - тетрадою або тріадою, а отримані двійкові цифри розташувати на місцях шістнадцяткових або вісімкових цифр.

У разі необхідності переведення чисел із десяткової системи числення у вісімкову, шістнадцяткову та двійкову переведення робиться лише в одну систему (вісімкову або шістнадцяткову). Подальше переведення виконується через двійкову систему, викорис­товуючи тріади та тетради.

Приклад 1. Переведемо число 12345,67 з десяткової системи числення у двійкову, ві­сімкову, шістнадцяткову.

1. Переведення цілої частини числа у вісімкову систему:

12345: 8 = 1543, залишок 1;

1543: 8 = 192, залишок 7;

192: 8 = 24, залишок 0;

24: 8 = 3, залишок 0;

3:8 = 0, залишок 3.

 

Результат: 30071.

2. Переведення дробової частини числа у вісімкову систему:

0,67x8 = 5,36;

0,36 х 8 = 2,88;

0,88 х 8 = 7,04;

0,04 х 8 = 0,32.

Наближений результат: 0,5270....

3. Отримання повного результату шляхом об’єднання результатів, отриманих в п. 1 та п. 2. Результат: 30071,5270....

4. Переведення результату у двійкову та шістнадцяткову системи числення (табл. 2.2). Поділ двійкового числа на тріади та тетради починається від коми ліворуч і праворуч. Результат: 12345,6710=30071,52708=11000000111001,1010101112=3039,АВ816.

Переведення чисел із системи числення з основою k у десяткову систему

Один із методів переведення чисел із системи числення з основою к у десяткову сис­тему числення ґрунтується на використанні кількісного еквівалента числа. Для пере­ведення необхідно записати число у його кількісному еквіваленті, замінивши цифри системи числення з основою к та основу к їхніми десятковими еквівалентами, а потім обчислити вираз за правилами десяткової арифметики.

Приклад 1. Переведемо двійкове число 1011,1001 у десяткову систему числення.

1011,1001 = 1*2³+ 0*2²+1* +1* +1* +1* +1* +1* =8+0+2+1+ 0,5 + 0 + 0 + +0,0625=11,5625;

Таким чином, 1011,1001₂ = 11,5625₁₀.

Приклад 2. Переведемо вісімкове число 105,71 у десяткову систему числення.

105,71 = 1-8² + 0-8¹ + 5-8° + 7-8 ¹ + 1-8 ² = 64 + 0 + 5 + 0,875 + 0,015625 = 69,890625;

Результат: 105,71_а = 69,890625₁₀.

Приклад 3. Переведемо шістнадцяткове число 2ЕБ,0А до десяткової системи числення.

2ЕБ,0А - 2-164 14-16Ч13аб°+0-16'+10-16'² = 512 + 224 +13+0+0,0390625 = 849,0390625;

Результат: 2ЕD,0А_!6 = 849,0390625₁₀.