Лінійні операції над векторами.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Тема 2.1. Вектори.

2.1.1. Основні поняття.

2.1.2. Лінійні операції над векторами.

2.1.3. Проекція вектора на вісь.

2.1.4. Розкладання вектора по ортам координатних осей. Модуль вектора. Направляючі косинуси.

2.1.5. Дії над векторами, заданими проекціями.

 

Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

2.2.1. Означення скалярного добутку.

2.2.2. Властивості скалярного добутку.

2.2.3. Вираження скалярного добутку через координати.

2.2.4. Деякі застосування скалярного добутку.

 

Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

2.3.1. Означення векторного добутку.

 

Тема 2.4. Мішаний добуток і його властивості.

2.4.1. Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.

2.4.2. Властивості мішаного добутку.

2.4.3. Вираження мішаного добутку через координати.

2.4.4. Деякі застосування мішаного добутку.

Тема 2.1. Вектори.

Основні поняття.

Величини, що повністю визначаються своїм чисельним значенням, називаються скалярними. Прикладами скалярних величин є: площа, довжина, об'єм, температу­ра, робота, маса.

Інші величини, наприклад сила, швидкість, прискорення, визначаються не тіль­ки своїм числовим значенням, але і напрямком. Такі величини називають векторни­ми. Векторна величина геометрично зображується за допомогою вектора.

Ø Вектор — це направлений прямолінійний відрізок, тобто відрізок, що має визначену довжину і визначений напрямок. Якщо А — початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначається символом або Вектор (у нього початок у точці B, а кінець у точці A) називається протилежним векторові . Вектор, про­тилежний векторові , позначається .

Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка і позна­чається . Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим векторомі позначається . Нульовий вектор напрямку не має.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором і позначається через . Одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком вектора , називається ортом вектора і позначається .

Ø Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній пря­мій або на паралельних прямих; записують || .

Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаковоабо протилежно.

Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому векторові.

Ø Два вектори і називаються рівними , якщо вони колінеарні, ма­ють однакові напрямки і однакові дожини.

З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити парале­льно самому собі, а початок вектора поміщати в будь-яку точку О простору.

 

рис. 1.

На рис. 1 вектори утворюють прямокутник. Справедлива рівність але Вектори і — протилежні, Рівні вектори називають також вільними.

Ø Три вектори в просторі називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні.

Проекція вектора на вісь.

Нехай у просторі задана вісь , тобто направлена пряма.

Ø Проекцією точки на вісь називається основа перпендикуляра , опущеного — з точки на вісь. Точка є точка перетину — осі з площиною, що проходить через точку перпендикулярно осі.

Якщо точка лежить на осі , то проекція точки на вісь збігається з . Нехай — довільний вектор ( ). Позначимо через і проекції на вісь відповідно початку А і кінця В вектора і розглянемо вектор .

рис.7.

Проекцією вектора на вісь називається додатне число якщо вектор і вісь однаково напрямлені і від’ємне число - якщо вектор і вісь

протилежно напрямлені (див. рис. 7). Якщо точки й збігаються , то проекція вектора дорівнює 0.

Проекція вектора на вісь позначається так: . Якщо або , то

Кут між вектором і віссю (або кут між двома векторами) зображений на рис. 8. Очевидно,

рис. 8.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

Властивість 1. Проекція вектора на вісь дорівнює добуткові модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто .

рис. 9.

□ Якщо .

Якщо

(див. рис. 9).

Якщо .■

Наслідок 1. Проекція вектора на вісь додатна (від’ємна), якщо вектор утворить з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут – прямий.

Наслідок 2. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

Властивість 2. Проекція суми декількох векторів на ту саму вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь.

□ Нехай, наприклад, Маємо тобто (див. рис. 10.)■

рис. 10.

Властивість 3. При множенні вектора на число , його проекція на вісь також збільшується на це число, тобто .

□ При маємо (Властивість 1.) . При .■

Таким чином, лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.

 

Рівність векторів

З означення вектора як напрямленого відрізка, який можна пересувати в просторі паралельно самому собі, випливає, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності: тобто

Колінеарність векторів

З'ясуємо умови колінеарності векторів і , заданих своїми координатами. Оскільки ║ , то можна записати де - деяке число. Тобто

Звідси

тобто або

Таким чином, проекції колінеарних векторів пропорційні. Вірно і зворотне твердження: вектори, що мають пропорційні координати, колінеарні.

Координати точки

Ø Нехай у просторі задана прямокутна декартова система координат Для будь-якої точки координати вектора називаються координатами точки .

Ø Вектор називається радіусом-вектором точки , позначається тобто Отже, координати точки – це координати її радіуса-вектора

або .

Координати точки записуються у виді

рис. 12.

Координати вектора

Знайдемо координати вектора якщо відомі координати точок і . Маємо (див. рис. 12.):

Отже, координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця і початку:

Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

Кут між векторами

Знаходження кута між ненульовими векторами і :

тобто

Звідси випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і

Робота постійної сили

Нехай матеріальна точка переміщається прямолінійно з положення в положення під дією постійної сили , що утворює кут з переміщенням (див. рис. 14).

З фізики відомо, що робота сили при переміщенні дорівнює

рис. 14.

Таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладання дорівнює скалярному добуткові вектора сили на вектор переміщення.

Приклад 2.3. Обчислити роботу, зроблену силою якщо точка її прикладання переміщається прямолінійно з положення в положення Під яким кутом до спрямована сила ?

○ Знаходимо Стало бути,

(од. роботи).

Кут між і знаходимо по формулі тобто

●

 

Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Тема 2.1. Вектори.

2.1.1. Основні поняття.

2.1.2. Лінійні операції над векторами.

2.1.3. Проекція вектора на вісь.

2.1.4. Розкладання вектора по ортам координатних осей. Модуль вектора. Направляючі косинуси.

2.1.5. Дії над векторами, заданими проекціями.

 

Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

2.2.1. Означення скалярного добутку.

2.2.2. Властивості скалярного добутку.

2.2.3. Вираження скалярного добутку через координати.

2.2.4. Деякі застосування скалярного добутку.

 

Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

2.3.1. Означення векторного добутку.

 

Тема 2.4. Мішаний добуток і його властивості.

2.4.1. Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.

2.4.2. Властивості мішаного добутку.

2.4.3. Вираження мішаного добутку через координати.

2.4.4. Деякі застосування мішаного добутку.

Тема 2.1. Вектори.

Основні поняття.

Величини, що повністю визначаються своїм чисельним значенням, називаються скалярними. Прикладами скалярних величин є: площа, довжина, об'єм, температу­ра, робота, маса.

Інші величини, наприклад сила, швидкість, прискорення, визначаються не тіль­ки своїм числовим значенням, але і напрямком. Такі величини називають векторни­ми. Векторна величина геометрично зображується за допомогою вектора.

Ø Вектор — це направлений прямолінійний відрізок, тобто відрізок, що має визначену довжину і визначений напрямок. Якщо А — початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначається символом або Вектор (у нього початок у точці B, а кінець у точці A) називається протилежним векторові . Вектор, про­тилежний векторові , позначається .

Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка і позна­чається . Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим векторомі позначається . Нульовий вектор напрямку не має.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором і позначається через . Одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком вектора , називається ортом вектора і позначається .

Ø Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній пря­мій або на паралельних прямих; записують || .

Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаковоабо протилежно.

Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому векторові.

Ø Два вектори і називаються рівними , якщо вони колінеарні, ма­ють однакові напрямки і однакові дожини.

З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити парале­льно самому собі, а початок вектора поміщати в будь-яку точку О простору.

 

рис. 1.

На рис. 1 вектори утворюють прямокутник. Справедлива рівність але Вектори і — протилежні, Рівні вектори називають також вільними.

Ø Три вектори в просторі називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні.

Лінійні операції над векторами.

Ø Під лінійними операціями над векторами розуміють операції додавання і віднімання векторів, а також множення вектора на число.

Нехай і — два довільних вектори. Візьмемо довільну точку О и побудуємо вектор Від точки А відкладемо вектор .

Ø Вектор , що з’єднує початок першого вектора з кінцем іншого, називається сумоювекторів і : (див. рис. 2).

	А

 

рис. 2.

Це правило додавання векторів називають правилом трикутника.Суму двох векторів можна побудуватитакож за правилом паралелограма (див. рис. 3).

 

рис. 3.

 

На рис. 4 показане додавання трьох векторів , , і

рис. 4.

Ø Під різницеювекторів і розуміється вектор такий, що (див. рис. 5).

 

рис. 5.

Відзначимо, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна направлена діагональ є сумою векторів і , а інша — різницею (див. рис. 6).

 

рис. 6.

Можна віднімати вектори за правилом: , тобто віднімання векторів замінити додаванням вектора з вектором, протилежним векторові .

Ø Добутком вектора на скаляр (число) називається вектор (або , що має довжину , колінеарний векторові , має напрямок вектора , якщо і протилежний напрямок, якщо . Наприклад, якщо дано вектор , то вектори і будуть мати вигляд і .

З означення добутку векторана число випливають властивості цього добутку:

1) якщо , то ║ . Навпаки, якщо || , , то при деякому вірна рівність

2) завжди тобто кожен вектор дорівнює добутковійого модуля на орт.

Лінійні операції над векторами мають наступні властивості:

Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях з вектором так, як це робиться в звичайній алгебрі: доданки змінювати місцями, вводить дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні загальні множники.

Проекція вектора на вісь.

Нехай у просторі задана вісь , тобто направлена пряма.

Ø Проекцією точки на вісь називається основа перпендикуляра , опущеного — з точки на вісь. Точка є точка перетину — осі з площиною, що проходить через точку перпендикулярно осі.

Якщо точка лежить на осі , то проекція точки на вісь збігається з . Нехай — довільний вектор ( ). Позначимо через і проекції на вісь відповідно початку А і кінця В вектора і розглянемо вектор .

рис.7.

Проекцією вектора на вісь називається додатне число якщо вектор і вісь однаково напрямлені і від’ємне число - якщо вектор і вісь

протилежно напрямлені (див. рис. 7). Якщо точки й збігаються , то проекція вектора дорівнює 0.

Проекція вектора на вісь позначається так: . Якщо або , то

Кут між вектором і віссю (або кут між двома векторами) зображений на рис. 8. Очевидно,

рис. 8.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

Властивість 1. Проекція вектора на вісь дорівнює добуткові модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто .

рис. 9.

□ Якщо .

Якщо

(див. рис. 9).

Якщо .■

Наслідок 1. Проекція вектора на вісь додатна (від’ємна), якщо вектор утворить з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут – прямий.

Наслідок 2. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

Властивість 2. Проекція суми декількох векторів на ту саму вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь.

□ Нехай, наприклад, Маємо тобто (див. рис. 10.)■

рис. 10.

Властивість 3. При множенні вектора на число , його проекція на вісь також збільшується на це число, тобто .

□ При маємо (Властивість 1.) . При .■

Таким чином, лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.