Тема 11 Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

На основі даних, наведених у табл. встановити наявність кореляційного зв’язку, визначити лінію регресії за лінійною моделлю. Оцінити істотність і щільність зв’язку.

Залежність між факторною (х) та результативною (у) ознаками

х		3,5	4,	5,2	6,3	7,1	8,4	9,5
у	26,4	26,9	27,3	27,7	28,1	28,4	29,1	29,4

Розв’язання:

Математично лінійний зв’язок у загальному вигляді записується рівнянням:Y = a + bx,

де Y – результативна ознака,

а – параметр рівняння, який характеризує початковий рівень;

b – параметр рівняння, який характеризує середній абсолютний приріст;

х – факторна ознака.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого – мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень (y) від теоретичних Y:

де у – емпіричні значення результативної ознаки;

Y – теоретичні значення результативної ознаки.

Математично доведено, що значення параметрів a та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь:

 

. Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів: ; . Для визначення параметрів лінійного рівняння складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі

і	х	у	ху	х^2
		26,4	52,8
	3,5	26,9	94,15	12,25
		27,3	109,2
	5,2	27,7	144,04	27,04
	6,3	28,1	177,03	39,69
	7,1	28,4	201,64	50,41
	8,4	29,1	244,44	70,56
	9,5	29,4	279,3	90,25
Разом		223,3	1302,6	310,2

Використовуючи дані наведеної таблиці, знаходимо параметри лінійного рівняння:

= 0,408 = 223,3 / 8 – 0,408 × 46 / 8 = 25,57.

Таким чином, лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408 х.

Для оцінки істотності та щільності лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона) r: ,

де – факторна дисперсія; – загальна дисперсія. – середнє значення факторної ознаки; – середнє значення результативної ознаки;n – кількість пар ознак.

Для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона

і	х	у	ху	х^2	у^2
		26,4	52,8		696,96
	3,5	26,9	94,15	12,25	723,61
		27,3	109,2		745,29
	5,2	27,7	144,04	27,04	767,29
	6,3	28,1	177,03	39,69	789,61
	7,1	28,4	201,64	50,41	806,56
	8,4	29,1	244,44	70,56	846,81
	9,5	29,4	279,3	90,25	864,36
Разом		223,3	1 302,6	310,2	6 240,49

 

Тоді: = 310,2 / 8 – (46 / 8) ² = 5,7125; = 6 240,49 / 8 – (223,3 / 8) ² = 0,9536. = = 0,997.

Для n= 8, r_кр = 0,71. Оскільки розраховане значення коефіцієнта кореляції Пірсона більше за його критичне значення, то зв’язок є істотним.

Коефіцієнт кореляції Пірсона набуває значень у межах , тому ха-рактеризує не лише щільність, а й напрямок зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне – про зворотний.

Відповідь: лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408· х; лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона r = 0,997 свідчить про щільний прямий зв’язок.

Приклад 2

Дані про споживання м’яса в сім’ях робітників та службовців з різним рівнем середньодушового сукупного доходу наведено у таблиці:

 

Рівень середньодушового сукупного доходу	Кількість сімей	Споживання м’яса в середньому на члена сім¢ї за рік, кг
Низький		48, 62, 40, 52, 50, 36
Середній		91 96 84 95 98 94 92 89 98 92
Високий		100 112 108 110

Встановити взаємозв’язок та оцінити його істотність і щільність за допомогою методу аналітичного групування.

Розв’язання: Розрахуємо середні величини в кожній групі за формулою середньої арифметичної простої:

= (48 + 62 + 40 + 52 + 50 + 36) / 6 = 48; = (91 + 96 + 84 + 95 + 98 + 94 + 92 + 89 + 98 + 92) / 10 = 84,6;

= (100 + 112 + 108 + 110) / 4 = 107,5. Загальну середню для всієї сукупності обчислимо за формулою середньої арифметичної зваженої, де в якості окремих ознак беруться середні кожної групи, а частотами є обсяги відповідних груп:

 

= (48 × 6 + 84,6 × 10 + 107,5 × 4) / 20 = 78,2. Визначаємо групові дисперсії за формулою: .

Тоді: = [(48 – 48)² + (62 – 48)² + (40 – 48)² + (52 – 48)² + (50 – 48)² ++ (36 – 48)² ] / 6 ≈ 70,67;

= [(91 – 84,6)² + (96 – 84,6)² + (84 – 84,6)² + (95 – 84,6)² + (98 – 84,6)² ++ (94 – 84,6)² + (92 – 84,6)² + (89 – 84,6)² + (98 – 84,6)² + (92 – 84,6)² ] / 10 = 85,58;

= [(100 – 107,5)² + (112 – 107,5)² + (108 – 107,5)² + (110 – 107,5)²] / 4 = = 20,75.

Середню з групових дисперсій розрахуємо за формулою: = (70,67 × 6 + 85,58 × 10 + 20,75 × 4) / 20 = 68,14.

Міжгрупову дисперсію обчислимо за формулою:

 

[(48 – 78,2)² × 6 + (84,6 – 78,2)² ×10 + (107,5 – 78,2)² × 4] / 20 = 465,79. Використовуючи правило складання дисперсій , визначимо загальну дисперсію: = 465,79 + 68,14 = 533,93.

 

Обчислимо кореляційне відношення: = 465,79 / 533,93 = 0,872.

Критичне значення кореляційного відношення для обсягу сукупності 20 одиниць та трьох груп дорівнює 0,318.

Відповідь: Оскільки розраховане кореляційне відношення більше за його критичне значення, між рівнем середньодушового доходу та споживанням м’яса існує прямий щільний зв’язок.

 

Тема 12Приклади розв’язання типових зада

Приклад 1

Під час безповторного вибіркового спостереження, яке проводилось в одній з крамниць продажу дешевого одягу були отримані такі дані:Розподіл проданого товару за цінами

Ціна товару, грн (Х)	1 – 2	2 – 5	5 – 10	10 – 15	Разом
Кількість проданого товару (f)	84	69	25	2	180

Визначити середню ціну та граничну помилку з імовірністю 0,954; побудувати довірчий інтервал для середньої ціни. Загальна кількість товарів (обсяг генеральної сукупності) 3254 одиниць.

Розв’язання: Для розрахунку середньої ціни за одиницю проданого товару замінимо спочатку інтервальний ряд розподілу дискретним. Використовуючи прийняте у статистиці припущення, що в межах одного інтервалу розподіл уважається рівномірним, значення ознаки (у даному прикладі ціна на товар) замінюємо на відповідні середні значення, які розраховуються за формулою: ,де – середина інтервалу;Х_min – нижня межа певного інтервалу;Х_max – верхня межа певного інтервалу.

Маємо такі значення:

; ; ; .

З урахуванням обчислених значень середин інтервалів, вихідні дані набувають такого вигляду:

Дискретний ряд розподілу проданого товару за цінами

Ціна, грн. ()	1,5	3,5	7,5	12,5	Разом
Кількість товару (f)	84	69	25	2	180

Середня ціна обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої: .Тоді середня ціна за даними вибіркового спостереження: грн.Гранична помилка для безповторного випадкового відбору розраховується за формулою:

,де t – довірче число (або квантиль розподілу), яке для великої за обсягом вибірки (більше 30 одиниць) для ймовірності 0,954 дорівнює 2; – дисперсія вибірки;n – обсяг вибірки;N – обсяг генеральної сукупності.Дисперсія вибірки обчислюється за формулою:

,де – середина окремого інтервалу; – середня арифметична (середня ціна)f_i – частота (кількість проданого товару) кожного окремого інтервалу.Таким чином, дисперсія вибірки:

.Тепер можна визначити граничну помилку:

.Таким чином, = 3,2 грн.; D = 0,32. і з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що при середній ціні за одиницю проданого товару у вибірковій сукупності 3,2 грн., у генеральній сукупності коливання навколо неї становитиме 0,32 грн.,

тобто межі довірчого інтервалу становитимуть:3,2 – 0,32 ≤ ≤ 3,2 + 0,32,

це означає, що середня ціна за одиницю проданого товару може коливатися від 2,88 до 3,52 грн. у генеральній сукупності, яка складається із 3254 одиниць товару,

Приклад 2

Під час безповторного вибіркового спостереження в одному з судів з метою дослідження термінів позбавлення волі засуджених за тяжкі злочини були отримані такі дані:

Розподіл засуджених за тяжкі злочини за терміном позбавлення волі

(дані умовні)

Термін позбавлення волі, років (Х)	5	6	7	8	9	Разом
Кількість засуджених (f)	12	24	40	26	8	110

Визначити середній термін позбавлення волі та довірчий інтервал з імовірністю 0,954. Загальна кількість засуджених за тяжкі злочини протягом досліджуваного періоду в цьому суді становила 986 осіб.

Розв’язання: Маємо дискретний ряд розподілу, тому середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини на підставі вибіркових даних обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої: .Тоді (років)Для визначення довірчого інтервалу спочатку потрібно обчислити граничну помилку за формулою: ,

де t – довірче число, або квантиль розподілу, який для великої за обсягом вибірки (n > 30) визначається з таблиць нормального розподілу та для ймовірності 0,954 дорівнює 2; – дисперсія вибірки;n – обсяг вибірки;N – обсяг генеральної сукупності.Для визначення граничної помилки потрібно розрахувати дисперсію вибірки, яка обчислюється за формулою:

= = 1,181.

Тепер обчислюється гранична помилка: .

Довірчий інтервал можна записати таким чином: , або .

Відповідь: середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини за даними вибіркової сукупності дорівнює 6,9 років; з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини у генеральній сукупності не менше як 6,7 років та не перевищує 7,1 років (або знаходиться в межах від 6,7 до 7,1 років).

Приклад 3

За звітний період у суді було розглянуто 480 кримінальних справ, за якими проходило 650 злочинців. Розподіл засуджених за віком у вибірці наведений у табл. Визначити частку неповнолітніх злочинців та довірчий інтервал частки цих засуджених з імовірністю 0,954.

Розподіл засуджених за віком за звітний період (дані умовні)

Вік засудженого, років	До 18	18 – 25	25 – 35	35 – 50	Разом
Кількість засуджених	14	20	10	7	65

Розв’язання:Частка неповнолітніх злочинців визначається як питома вага кількості злочинців відповідної вікової групи у загальному обсязі вибіркової сукупності, тобто:р = х_і / å х_і,

де х_і – кількість неповнолітніх злочинців у вибірці; å х_і – загальна кількість злочинців, які потрапили до вибірки.

Тоді:р = 14 / 65 = 0,215.

Оскільки обсяги генеральної сукупності та вибірки великі, то для визначення граничної помилки використаємо формулу:∆_w = = ,де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

p – частка неповнолітніх злочинців у вибірці; q – частка повнолітніх злочинців у вибірці; n – обсяг вибірки.

Оскільки сумарна кількість неповнолітніх та повнолітніх злочинців дорівнює обсягу вибірки, то q = 1 – p, тоді:

q = 1 – 0,215 = 0,785.

Тоді довірчий інтервал: = 0,1.Довірчий інтервал записується у вигляді: р = 0,215 0,1 або 0,115 р 0,315.Таким чином, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка неповнолітніх злочинців становить 0,215, а довірчий інтервал – р = 0,215 0,1 або 0,115 р 0,315, тобто у загальній сукупності із 650 злочинців частка неповнолітніх злочинців може коливатися в межах11,5 до 31,5 %.

Приклад 4

Визначити оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору з імовірністю 0,954 за умови, що вік працюючих у генеральній сукупності коливається від 16 до 62 років, а гранична помилка середнього віку працюючих не повинна перевищувати 2 роки.Розв’язання:Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2; – дисперсія генеральної сукупності;D – гранична помилка.Оскільки дисперсія генеральної сукупності невідома й відсутні дані щодо аналогічних досліджень, то для визначення дисперсії скористаємося правилом трьох сигм, тобто:

.Тоді: = 1 / 6 (62 – 16) = 7,7.Тоді оптимальний обсяг вибірки становитиме:n = 2 ² × 7,7 ² / 2 ² = 60.

Оскільки гранична помилка не повинна перевищувати 2 роки, то обсяг вибірки округлюємо у більший бік незалежно від того, яка цифра стоїть після цілого числа.Таким чином, можна зробити висновок - з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що оптимальний обсяг вибірки має бути 60 одиниць.

Приклад 5

Визначити оптимальний обсяг вибірки для безповторного механічного відбору для визначення частки якісної продукції з імовірністю 0,954 за умови, що обсяг генеральної сукупності дорівнює 2740 виробів, а гранична помилка якісної продукції не повинна перевищувати 0,2.Розв’язання:Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2N – обсяг генеральної сукупності; – дисперсія генеральної сукупності;D – гранична помилка.Для частки (альтернативної ознаки), коли відсутня будь-яка інформація про структуру сукупності, уважають, що частка р = 0,5, отже: = 0,5 × 0,5 = 0,25.

Тоді оптимальний обсяг вибірки: = = 25.

Таким чином, можна зробити висновок - з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що за таких умов оптимальний обсяг вибірки має бути 25 одиниць.