Дифференциальное волновое уравнение Даламбера и его общее решение. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия.

Снова вернемся к одномерной задаче, когда плоская гармоническая волна распространяется вдоль направления х. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что (9.2)

() удовлетворяет дифференциальному уравнению Даламбера:

. (9.3)

Более того, уравнению удовлетворяет любая функция

f (w t ± kx +a) и суперпозиция x(x, t) = A f ₁(w t - kx +a) + B f ₂(w t + kx +b), представляющая собой две волны, бегущие вдоль х во встречных направлениях. Эта суперпозиция и является общим решением (9.3).

Убедимся в этом, дифференцируя x(x, t) и подставляя в (9.3) производные:

Отсюда что и требовалось, т.к. k = w/ V.

Если задача трехмерна, то в декартовой системе координат в левой части (9.3) будет сумма частных производных , которая для краткости обозначается оператором Лапласа , который имеет свое представление и в других системах координат. Поэтому самая общая форма записи уравнения Даламбера выглядит так:

. (9.3а)

 

До сих пор, говоря о скорости распространения волны, мы имели в виду скорость изменения волновой картины - фазовую скорость
V = w/ k. Наблюдатель, сидя на гребне (или впадине) бесконечной гармонической волны и перемещаясь вместе с ней с такой же скоростью, видит вокруг себя неподвижную картину горбов и впадин. Для передачи информации сигнал должен быть промодулирован, а как следует из теории Фурье, любой негармонический сигнал состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, каждая из которых необязательно будет распространяться с одной и той же скоростью. Передача некоторого количества энергии (или "сгустка") осуществляется передачей в пространстве и времени так называемого волнового пакета.

чтобы волновой пакет распространялся через среду без изменения формы огибающей необходимо, чтобы все его гармонические спектральные составляюшие распрострянялись с одной и той же фазовой скоростью. Возвращаясь к проблеме передачи сигнала, отметим, что волна внутри волнового пакета может распространяться со скоростью V (фазовая скорость), которая, вообще говоря, отличается от скорости распространения u всего пакета как целого (групповая скорость), причем всегда u £ c, а V может иметь любые значения.

Зависимость фазовой скорости от частоты [или длины волны] V = f (w) [или V = f (l)] называется дисперсией ^[1] . Дисперсия - это свойство среды, в которой распространяется сигнал. В вакууме дисперсия отсутствует.

Связь между фазовой скоростью v _ф и групповой скоростью v _гр: . т.к. , имеем: . Если , то v _гр ≠v _ф и существует дисперсия – зависимость v _ф от частоты. Если , дисперсии нет и v _гр = v _ф.

Дисперсия в оптике - это зависимость оптического показателя преломления от длины волны n = f (l) или частоты. Понятие дисперсии подразумевает зависимость фазовой скорости волны V = c / n от частоты. Классической демонстрацией оптической дисперсии является разложение белого света на семь монохроматических компонент: красную, оранжевую, желтую, зелёную, голубую, синюю и фиолетовую. Самый большой показатель преломления - для фиолетовой компоненты, а самый маленький - для красной. Потому белый свет и разпадается на спектральную полоску, и дело здесь не в излучении, а в среде. Дисперсия - это свойство среды, в которой излучение распространяется!

Упругие волны. Скорость продольных и поперечных упругих волн. Плотность потока звуковой энергии и уровень интенсивности звука. Определение децибела. Шкала упругих волн. Инфра- и ультразвук. Методы генерации ультразвука. Понятие об акустической локации

Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.

V _|| - фазовая скорость распространения продольныхупругих волн. Для поперечных волн, когда за процесс распространения отвечает не сжатие-растяжение, а изгиб, получится сходная формула с модулем сдвига G, который так же, как и модуль Юнга Е, является универсальной константой, зависящей от свойств среды: V = V _^. В газах скорость звука (там всегда распространяются только упругие волны!) определяется формулой

V _|| = , (9.7)

где g - константа, зависящая от свойств газа; р - среднее давление. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре около 340 м/с, в жидкостях - около 1500 м/с, в твердых телах - от 3000 до 5500 м/с.

При cкорости распространения волны V расстояние, проходимое волной за время D t, равно V D t, а объем, в котором распространяется волна, равен D SV D t. Тогда D E = w D SV D t, а энергия, доставляемая волной в единицу времени через единичную площадку (плотность потока энергии), равна .

Этой формуле часто придают векторный смысл: соответствующий вектор называется вектором Умова. Он направлен вдоль направления скорости. Найдем среднее значение величины , поскольку именно оно характеризует интенсивность звуковой волны. Поскольку sin ²(...) меняется от 0 до 1, то среднее значение
равно ½. Получим . Тогда, по определению, интенсивность звуковой волны равна . Наиболее распространенной величиной, характеризующей воздействие звука на организм человека, является уровень интенсивности звука, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый как

, (9.8)

где j_o = 10^-12 Вт/м² - опорный уровень, принятый за порог слышимости. (Если j = j_o, то L = 0). В табл. 1 приводятся некоторые значения L (при частоте n = 1000 Гц).

Таблица 1 (Уровни интенсивности звука)

Источник звука	Уровень интенсивности L, дБ
Тиканье часов, шопот
Офис	40-50
Речь докладчика
Автомобильный мотор
Цех предприятия, автострада, поезд	80...100
Дискотека, большой оркестр	100...110
Авиационный мотор	>120
Предел болевого ощущения	³130

Если расположить упругие волны в порядке возрастания частоты, то получится шкала упругих волн (рис. 9.4).

Из рисунка видно, что слышимый звук образует весьма узкий диапазон от 20 Гц до 20 кГц. Отметим, что этот интервал слышит весьма хорошее ухо. Для подавляющего большинства этот интервал еще ýже (40 Гц < 18 кГц). За слышимым звуком располагается ультразвук, нижняя граница которого еще находится в пределах слышимости для некоторых животных (например, для летучих мышей). Верхняя граница точно не определена.

Ультразвук широко применяется в инженерном деле. Так, ультразвук применяется для очистки внутренних поверхностей блока цилиндров мотора от загрязнений.Получают ультразвук благодаря пьезоэффекту, открытому в
1870 г. Пьером Кюри. Сущность эффекта заключается в том, что вследствие внешней деформации в некоторых кристаллах происходит перестройка структуры, приводящая к возникновению на кристалле электрического напряжения. Эффект обратим, и если к пьезокристаллу прикладывать от генератора электрический переменный гармонический сигнал ультразвуковой частоты, то поверхность кристалла будет совершать механические колебания с той же частотой. Если кристалл привести в тесный контакт с какой-либо средой, то в этой среде будет распространяться ультразвуковая волна.

Инфразвук, расположенный в диапазоне от 0 до 20 Гц, генерировать весьма сложно. Известно, что существуют частоты, действие которых оказывает сильное психологическое и физиологическое воздействие на организм человека, включая нарушение ритма работы сердца и даже его остановку. Так, самые длинные низкочастотные органные трубы генерируют неслышимый человеком звук, оказывающий, тем не менее, исключительно сильное эмоциональное воздействие.

Электромагнитные волны. Уравнение Даламбера для плоской гармонической ЭМ волны как следствие уравнений Максвелла. Решение для электрической и магнитной компонент. Скорость в среде и в вакууме. Плотность энергии. Вектор Пойнтинга.

Как уже было сказано выше, возникновение электромагнитной (ЭМ) волны обусловлено тем, что изменяющееся магнитное поле порождает в непосредственной окрестности изменяющееся электрическое поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся магнитное и т.д. Применение уравнений Максвелла для среды даст уравнения Даламбера для волны, распространяющейся вдоль направления х:

; , (10.1)

где e, m - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; с - скорость света в вакууме, связанная с электрической и магнитной постоянными соотношением (см. ЧАСТЬ 2). Для гармонических волн решение уравнений (10.1) имеет вид: и , где - амплитуды компонент поля. Как видно из этих соотношений, колебания векторов происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения х. Таким образом, ЭМ волныпоперечны и всегда , как это показано на рис. 10.1. Колебания векторов происходят в одной фазе: их значения через нуль или через экстремальные точки проходят одновременно. Сравнивая (10.1) с (9.3), найдем, что фазовая скорость в среде Величина n, показывающая, во сколько раз фазовая скорость ЭМ волны в среде меньше, чем в вакууме, называется оптическим показателем преломления. При этом мы имеем в виду среды, свойства которых одинаковы по всем направлениям - изотропные среды. Если это не так (анизотропные среды; например, кварц), то n будет тензорной величиной и задаваться матрицей. Для вакуума e = m = 1 и V = c.

Для ЭМ волны плотность энергии определяется суммой электрической и магнитной компонент: , плотность потока энергии - вектором Пойнтинга , где - напряжённость магнитного поля, связанная с магнитной индукцией соотношением . Вектор Пойнтинга, как и вектор Умова в случае упругих волн, определяет направление распространения энергии ЭМ волны.

5. Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн. Красное смещение. Применение для определения скорости движущегося автомобиля. Ударные волны Маха.

Эффект Допплера - волновое явление. Он был открыт в 1825 г. и заключается в том, что частота сигнала, который посылается некоторым источником отличается от частоты, которая принимается некоторым приемником, если источник или приемник (или оба вместе) движутся. В оригинальном эксперименте Допплера к наблюдателю с абсолютным слухом, находившемуся на перроне вокзала, приближалась, а затем удалялась от него открытая железнодорожная платформа с духовым оркестром. Это явление наблюдается и для упругих, и для электромагнитных волн, однако описывается по-разному, поскольку упругие волны распространяются всегда в среде, а ЭМ волны могут распространяться и в вакууме. Начнем с упругих волн. В этом случае говорят об эффекте Допплера в акустике.

Будем считать, что точечный источник движется относительно неподвижной среды со скоростью u по направлению к неподвижному наблюдателю А и от неподвижного наблюдателя В, а волна движется относительно среды со скоростью V, распространяясь в виде сферы во все стороны. Для наблюдателя А, к которому движется источник, волна как бы «сжимается», и вместо волны l₀ = V /n₀ он воспримет волну длиной l' = V /n' < l₀ с частотой n' > n₀. Напротив, для наблюдателя В волна «растянется»: l' > l₀; n' < n₀.

Пусть t - время, за которое волна, испущенная в момент t = 0, дойдет до приемника (наблюдателя). Так как частота n₀ есть число колебаний за 1 с, то число испущенных за время t колебаний равно n₀t, а расстояние, на которое они распространятся в сторону наблюдателя А, равно (V - u)t. Таким образом воспринимаемая наблюдателем А длина волны будет , а воспринимаемая частота . Если же приемник еще и движется навстречу волне со скоростью , то и окончательно

. (13.2)

Ударные волны Маха образуются, когда скорость источника превышает скорость звука (u > V). Получается волна, фронт которой образует увеличивающийся в размерах конус с углом раствора a = arcsin (V/u). Это так называемая ударная волна Маха. Такую волну порождает взмах хлыстом или движение самолета со сверхзвуковой скоростью. Наблюдатель при этом слышит громкий хлопок. Часто говорят, что самолет "преодолевает звуковой барьер", хотя на самом деле он мог его преодолеть вскоре после взлета и далее двигаться с постоянной скоростью u > V.

Два наблюдателя, находящиеся поодаль друг от друга услышат хлопок, естественно, в разное время - по мере достижения образующей конуса барабанных перепонок. Аналогом этой волны является поверхностная волна на воде с "треугольным" фронтом, возбуждаемая катером.

Рассмотрим теперь эффект Допплера для ЭМ волн. Так как ЭМ волны могут распространяться в пустом пространстве и, в отличие от упругих волн, не нуждаются в наличии некоей среды - эфира - то имеет смысл говорить лишь об относительной скорости U приемника по отношению к источнику (или наоборот, что одно и то же). Имеется условно неподвижная система К и движущаяся относительно нее равномерно со скоростью U система К', у которой ось х' скользит вдоль оси x системы K, а у = у' и х = х'
Пусть далее с системой К связан источник, посылающий плоскую волну

, (13.3)

а с К' связанприемник, воспринимающий волну

. (13.4)

При этом система K' (с неподвижным в ней приемником) удалялась от системы К (с неподвижным источником). Если считать, как ранее в акустическом случае, что U > 0 для сближения и U < 0 для удаления, то в последней формуле следует поменять U на (-U). Окончательно

. (13.5)

Анализ линий спектра излучения удаленных космических объектов показывает, что положение этих линий сдвинуто в сторону бóльших длин волн. Явление это называют красным смещением.

Эффект Допплера обусловливает естественную ширину спектральных линий.

Эффект Допплера используется в арсенале ГИБДД в приборе для определения скорости U движущегося автомобиля. В этом случае U / c << 1. Представим корень в (13.5) как
и воспользуемся разложениями в ряд по :

и . Только первые два слагаемых в этих разложениях одинаковы. Остальные, которые отличаются друг от друга, - меньшего порядка, и мы их отбрасываем. Поэтому для малых U получим для частоты n’, воспринимаемой водителем, значение

. (13.6)

Сигнал этой частоты отражается назад к сотруднику ГИБДД и воспринимается его радаром как сигнал, идущий от движущегося источника – автомобиля. Воспринимаемая гаишником частота n” опять-таки определится формулой (13.6), где вместо n_о надо теперь подставить n’. Поэтому

.

Для нахождения скорости автомобиля (рис. 13.7) используется радар, излучающий электромагнитные волны длины l_О = 3 см (n_О = с/l = 10¹⁰ Гц). Радар одновременно является и источником, посылающим излучение частоты n_О, и приемником, регистрирующим отраженное излучение частоты n”. Как следует из последнего соотношения, разность частот посланного и принятого сигнала dn = n”-n_O = 2n_OU/c, отсюдаU = c dn/(2n_O). В результате взаимодействия коллинеарных колебаний с близкими частотами n” и n_O возникнут биения с частотой dn. Современные, не слишком дорогие приборы, которыми оснащены службы ГИБДД, способны обнаружить биения с частотой не менее 100 Гц. Таким образом, минимально возможная обнаружимая скорость равна .

 

Нетрудно видеть, что эта формула исчерпывает все возможные случаи взаимного движения источника и приемника, если принять к сведению следующее правило знаков:

V > 0 - всегда; > 0 - для сближения; < 0 - для удаления.

 

Интерференция от двух источников. Когерентность. Геометрическая и оптическая разность хода. Условия максимумов и минимумов интерференции. Общая интерференционная схема. Ширина интерференционной полосы.

Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве.Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.

Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны.

Когере́нтность — согласованность нескольких колебательных или волновых процессов во времени, проявляющаяся при их сложении. Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени и при сложении колебаний получается колебание той же частоты.

Классический пример двух когерентных колебаний — это два синусоидальных колебания одинаковой частоты.

Когерентность волны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, то есть разность фаз между двумя точками не зависит от времени.

Для световых ЭМ волн, распространяющихся в среде с показателем преломления n, получим

(11.4)

где l_О - длина световой волны в вакууме; (d ₂ - d ₁) - геометрическая разность хода лучей, а D = (nd ₂ - nd ₁) - разность оптических длин пути или просто оптическая разность хода. Для вакуума она совпадает с геометрической, т.к. n = 1. Оно и понятно: в вакууме при бóльшей скорости распространения волна пробежит и бóльшее расстояние.

Поскольку d = k D, то условие максимумов и минимумов интерференции можно записать через оптическую разность хода:

А² = min при D = = ±(2 m -1) ,

где m = 1,2,…- номер минимума;

А² = max при d = 0, ±l, ±2l, ±3l... = ±2 m ,

где m = 0,1,2, 3…- номер максимума.

Однако в действительности оптическая интерференция может иметь место лишь при выполнении ряда довольно жестких условий. Начнем с наиболее очевидных.

1. Взаимодействующие волны должны быть одинаковой природы: нельзя заставить интерферировать световую волну со звуковой.

2. Волны должны иметь одинаковую частоту.

3. Волны должны иметь одинаковую поляризацию - способ упорядочения колебаний в волне. Это означает, что если, например, вектор одной волны колеблется в плоскости чертежа, то эта волна может интерферировать с другой волной с таким же способом упорядочения колебаний вектора (т.е. он тоже должен совершать колебания в той же плоскости).

4. Волны должны быть когерентны.

 

Ширина интерференционной полосы.
Ширина интерференционной полосы определяется, как расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами, интерференционные порядки которых отличаются на единицу.

Общая интерференционная схема в следующем вопросе.

 

 

7. Схема Юнга, бипризма Френеля, кольца Ньютона и тонкие плёнки как примеры иллюстрации интерференционных явлений с подробным анализом хода лучей. Интерференция для монохроматического и белого света в этих устройствах

Одной из первых установок, на которых была осуществлена интерференция, является схема Юнга (рис. 11.4). Излучение от свечи S проходит через светофильтр Ф, который выделяет из всего спектра излучения лишь узкую полосу вблизи частоты светофильтра - монохроматический свет длиной волны l. Далее на пути монохроматического света находится диафрагма Д с двумя маленькими отверстиями S ₁ и S ₂. Полосатая интерференционная картина наблюдалась на экране Э, расположенном за диафрагмой. Выходящие из отверстий S ₁ и S ₂ излучения оказались когерентными благодаря тому, что образовавшиеся два потока получились из одного. Сами же отверстия можно рассматривать как два когерентных источника, каждый из которых посылает излучение в виде обрывков синусоид. Поэтому, если излучение обрывается в некоторой фазе в первом канале, то в той же фазе оно оборвется и во втором канале. И далее, когда оно снова возобновится в некоторой фазе и с некоторой новой поляризацией в первом канале, то же самое будет и во втором канале. Оба излучения оказываются зависимыми друг от друга. Приходя в некоторую точку М на экране, они будут иметь постоянную разность фаз d и потому интерферировать, давая характерную полосатую интерференционную картину.

Бипризма Френеля (рис.11.5) представляет собой трехгранную призму с очень малым (порядка нескольких минут) преломляющим углом. Благодаря преломлению в призме образуется два расходящихся пучка, имеющих зону взаимного перекрытия, где и будет наблюдаться интерференционная картина. Здесь, как и в предыдущем случае, свет от естественного источника разделяется на два пучка. То, что источники этих пучков S ₁ и S ₂ мнимые, значения не имеет. Важно то, что интерференционная картина всегда образуется при взаимодействии реальных световых пучков.

 

 

Два только что рассмотренных примера, а также множество других подчиняются общей интерференционной схеме. Здесь два когерентных монохроматических источника S ₁ и S ₂, излучающие волны длиной l_о в вакууме и возникшие благодаря разделению одного исходного светового потока, взаимодействуют в некоторой точке М. Эта точка расположена на экране Э на расстоянии х = ОМ от центра 0 всей полосатой интерференционной картины. Максимумы интенсивности J соответствуют светлым, а минимумы – тёмным полосам картины. Центр картины лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка, соединяющего источники.

Кольца Ньютона возникают, благодаря интерференции в воздушном клине между плосковыпуклой линзой и плоской стеклянной плитой, на которой покоится линза (рис. 11.7). В установке используется параллельный пучок монохроматического света. Проследим путь одного из лучей пучка, падающего перпендикулярно плоской поверхности линзы. Эту поверхность луч пройдет без изменения траектории. При падении на сферическую поверхность линзы луч частично отразится от нее (луч 1) под тем же углом, что и угол падения i, а частично преломится (луч 2) под углом r, причем r > i, поскольку свет идет из стекла в воздух, а не наоборот. Отразившись от плоской поверхности стеклянной плитки, луч 2 вторично войдет в линзу и затем пересечется с лучом 1. Таким образом, два взаимодействующих луча появились из одного и, в соответствии со сказанным выше, будут интерферировать. Точка пересечения лучей расположена практически на сферической поверхности линзы. Поэтому геометрическая разность хода лучей определится длиной пути "туда и обратно" луча 2 после разделения, и если толщина воздушного слоя в этом месте равна h, то геометрическая разность хода будет 2 h. Понятно, что один и тот же интерференционный эффект будет соответствовать геометрическому месту точек с равной толщиной воздушного клина, и если линза имеет идеальную сферическую форму, то следует ожидать системы темных и светлых колец правильной формы. Однако интерференционный эффект определяется не геометрической, а оптической разностью хода и здесь есть некоторая физическая тонкость: при возникновении различий в условиях отражения, когда один из интерферирующих лучей отражается от оптически более плотной среды, происходит скачок фазы на p, что эквивалентно увеличению оптического пути на величину Поэтому, если клин воздушный (n = 1), то оптическая разность хода лучей

D = 2hn + l/2 = 2h + l/2. (11.11)

Выразим неудобную для практических целей величину h через радиус кривизны R линзы и радиус m -го кольца. Из рис. 11.7 видно, что (т.к. ), откуда Подставляя в (11.11) и имея в виду (11.5), получим для темных колец:

, (11.12)

а для светлых колец:

. (11.13)

Нумерация темных колец (минимумы) начинается с m = 0 - центральной темной точки, располагающейся в центре картины. Далее следует первое светлое кольцо m = 1 в (11.12), затем первое темное m = 1 в (11.11) и т.д. Метод колец можно применять не только для контроля качества сферичности некоторой линзы, но и для измерения ее радиуса кривизны.

Интерференция в тонких пленках дает цветные разводы на поверхности мыльных пузырей, поверхностях пленок от нефтепродуктов на воде или асфальте, а также на поверхности старых давно не мытых окон, покрытых пленкой различных окислов. Рассмотрим один из лучей пучка монохроматического источника S. Будем считать источник достаточно удаленным, а потому пучок - параллельным (рис. 12.1). При падении луча на пленку толщиной h с параллельными поверхностями, находящуюся в воздухе, в точке А возникает отраженный и преломленный луч, которые будучи когерентными, выйдут из пленки параллельно друг другу и в непосредственной близости друг от друга. Такие лучи теоретически дадут интерференционную картину на бесконечности. Однако, пройдя через хрусталик глаза, они сформируют картину на сетчатке.