Сосредоточенный источник тепла

 

Рассмотрим нестандартную задачу о теплопроводности при наличии в точке x = ξ сосредоточенного источника тепла. В этой точке решение задачи

Удовлетворяющий начальному условию

И краевым условиям

удовлетворяет условиям сопряжения

Где Q=Q(t) – мощность источника.

Условие разрыва теплового потока означает что разрывные первые производные , т.е. решение u=u(x,t) имеет на прямой x = ξ слабый разрыв. Чтобы написать однородную разностную схему, учитывающую источник Q при x = ξ, воспользуемся интегро-интерполяционным методом.

Предположим, что сетка равномерна и

Тогда во всех узлах разностное уравнение имеет обычный вид

Напишем уравнение баланса для интервался при фиксированном . Учитывая, что

Будем иметь

Совершая отсюда обычный переход к разностному уравнению, получаем

Таким образом, схема имеет вид:

Где —символ Кронекера. Для погрешности z = y—u получаем уравнение с правой частью

и краевыми условиями:

Пользуясь уравнением баланса, преобразуем выражение к виду

Для определенности будем считать, что , т.е. Тогда

По аналогии со случаем разрывных коэффициентов находим

Учитывая затем, что

Находим

Нетрудно заметить также, что

Однако в данном случае выбор коэффициента не улучшает порядка точности. Из формулы видно, что и» следовательно, , если , т.е. источник находится в узле сетки.

 

 

Цилиндрически-симметричные задачи теплопроводности

 

При изучении процессов теплопроводности или диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно пользоваться цилиндрической системой координат (r, ϕ, z). Если температура не зависит от ϕ и z, то мы приходим к уравнению

При x=1 будем ставить обычное условие (первого или третьего рода), например,

а при х = 0 естественное условие ограниченности решения

Рассмотрим задачу

(1)

Введем равномерную сетку на отрезке :

На отрезке . Оператор L, аппроксимируем разностным оператором

Где и уравнению (1) поставим в соответствие схему с весами

Чтобы получить разностное краевое условие при x = 0, воспользуемся условием

для стационарного уравнения и заменим в нем на , затем , а u на y.

В результате получаем краевое условие

которое можно также записать в виде

Присоединяя сюда условия при х=1 и t= 0, получаем разностную краевую задачу

Где,

 

 

 

Квазилинейное уравнение теплопроводности

 

Между тем для высокотемпературных процессов, протекающих, например, в плазме, коэффициент теплопроводности является нелинейной функцией температуры (и плотности), а в ряде задач, кроме того, функцией градиента температуры. Далее, источники тепла (правые части в уравнении теплопроводности) могут зависеть от температуры, если, например, тепло выделяется в результате химической реакции. От температуры может зависеть и теплоемкость среды.

Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем с опережением, а=1) для простейшего квазилинейного уравнения теплопроводности

где

Схема а):

Схема б):

где

например,

(1)

(2)

(3)

От способа вычисления сильно зависит точность расчета температурной волны. Проведенные численные эксперименты для случая, когда есть степенная функция температуры, показывают, что формулой (3) для не следует пользоваться, а формула (1) лучше, чем (2) (по точности). Сравним схемы (а) и (б). Погрешность аппроксимации этих схем . Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна относительно значения функции на слое и значения функции находятся по значению функции на слое например, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно устойчива, шаг τ выбирается только из соображений точности. Схема б) не линейна относительно функции и для нахождения ее решения используется метод итераций. Итерационный процесс строится следующим образом:

 

Относительно разностная схема оказывается линейной. В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего шага по времени: Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации.