Графоаналитические методы обработки опытных данных

Это наиболее простые, наглядные и достаточно точные методы. В их основе лежат графические зависимости, представленные в виде прямых или кривых линий, проведенных по опытным точкам. При этом следует отчётливо представлять, что математическая обработка результатов наблюдений не может оставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Речь лишь идёт о том, чтобы охватить результаты опыта наиболее простой формулой, которая давала бы возможность производить интерполирование.

Выбор типа эмпирической формулы производят, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдений / эксперимента/, с типично графиками формул.

В табл.1 графически представлены некоторые типы функций, наиболее часто встречающиеся при расчётах тепломассообменной аппаратуры пищевых производств. Для каждого семейства кривых дано исходное уравнение, метод его линеаризации и уравнение, полученное после линеаризации.

Из таблицы видно, что иногда эмпирическая кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны, например, кривая 1 и 2, поэтому, прежде чем определить численные значения коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить возможность её использования методом выравнивания (линеаризации).

Метод выравнивания заключается в преобразовании функции Y=f(X) таким образом, чтобы превратить её в линейную функцию. Достигается это путём замены переменных x,y новыми переменными X=Ψ /x, y/, Y=ζ / x, y/ которые выбираются так, чтобы получилось уравнение прямой линии

Y = A + BX

Вычислив значения X_і Y_i по заданным x_i y_i, наносят их на прямоугольную систему координат X Y. Если построенные таким образом точки располагаются вблизи прямой, то выбранная эмпирическая формула y= φ/X/ подходит для характеристики зависимости y=f/x/.

Таблица 2

Форма кривой	Уравнение	Метод линеаризации	Уравнение, полученное при линеаризации
	Y=a·x^b(степенная функция)	X=lgx, Y=lgy	Y=lga+bX
	Y=a·e^bx(показательная функция). График дан для a=const	Y=lgy	Y=lgf+bxlge
	Y=x/(a+bx)	Y=1/y; X=1/x	Y= aX+b

Особенно часто используются различные логарифмические сетки, с помощью которых можно «выпрямлять» графики степенных и показательных функций. В самом деле, если зависимость между x и y задаётся уравнением

y=ae^bx, (1)

то логарифмирование его даёт

lg y=/ b lg e/ x+ lg a (2)

Полагая lg y=Y, lg a=A, b lg e = B, запишем уравнение (2) как

Y= A+Bx (3)

Из него видно, что оставив равномерную шкалу по оси ОХ и построив на оси ОУ логарифмическую шкалу, функция (1) изобразится прямой линией.

Описанная выше сетка называется полулогарифмической. Логарифмической называется функциональная сетка, у которой на каждой из осей ОХ и ОУ построена логарифмическая шкала. На такой сетке графики степенных функций (кривые параболического и гиперболического вида) изобразятся прямыми линиями.

Действительно, если

y= ax^b (4)

то

lgy=lga+ b lgX (5)

Полагая теперь lgy=Y, lga=A, lgx=X, запишем уравнение (5) в виде Y=A + BX, откуда и вытекает наше утверждение.

Из сказанного вполне ясна роль функциональных сеток при обработке экспериментальных данных. Если результаты опытов, нанесённые в виде точек на обычных равномерных сетках, достаточно хорошо располагаются вдоль прямоё линии, то коэффициенты эмпирической формулы легко находятся, например, способом средних, либо графическим методом. Если же эти результаты располагаются вблизи кривой, то переведя полученные экспериментальные данные на ту или иную функциональную сетку, мы получаем возможность судить, на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой, а значит и о том, какую из формул следует выбрать для адекватного описания экспериментальных данных.

3.2.Определение коэффициентов, входящих в эмпирическую формулу .

После того, как установлена пригодность выбранной формулы для выражения изучаемой зависимости переменных, необходимо определить численные значения входящих в формулу коэффициентов. Наиболее точные результаты даёт использование метода наименьших квадратов.

Однако этот способ громоздок и во многих случаях его можно заменить более простым способом средних, дающих вполне удовлетворительные результаты.

Способ средних заключается в следующем: использовав метод выравнивания и получив линейную зависимость

Y = A + bX (6)

составляют условные уравнения Y_i = A + bX_i, число которых равно числу имеющихся соответственных значений X_i, Y_i. Условные уравнения разбивают на две приблизительно равные группы и уравнения, входящие в каждую из этих групп, складывают.

Получают два уравнения:

_i=kA + B _i; _I = (n-k)A + B _I (7)

из которых находят неизвестные коэффициенты A и B.

Наиболее простым способом получения коэффициентов эмпирических формул, однако, и наименее точным, является графический метод (метод натянутой нити). Он основан на геометрическом подборе прямой на глаз. С помощью соотвествующей замены линеаризуют функциональную зависимость и получают линейную функцию вида

Y = A + BX

Нанеся полученные экспериментальные значения на соответствующие функциональные шкалы, подбирают графически прямую(рис.2.), ближе всего подходящую к полученным значениям. Метод графического определения коэффициентов A и B понятен из рис.2.

Графическое определение коэффициентов эмпирических формул

Рис.2.

Обратный переход к исходной функциональной зависимости осуществляется с учётом использованного метода линеаризации.

Если полученная прямая расположена далеко от начала координат и её невозможно продолжить (см. рис.2.), то используют следующие соотношения:

A= (8)

B= (8a)

где Y₁ , X₁, Y₂ , X₂ – численные значения координат двух произвольных точек полученной прямой.

Рассмотрим теперь некоторые примеры применения этих двух способов.

ПРИМЕР 1. В результате экспериментов получены значения перепадов давления DP, Па в функции от скорости воздуха , м/с, в отверстиях ситчатой тарелки, приведённой в табл.3.

Найти зависимость перепада давления от скорости воздуха.

Таблица 3.

Значение перепада давления DP в зависимости от скорости воздуха

Экспериментальные значения величин	Вычисленные значения величин по
Уравнению(12)	Уравнению (13)
Па	, м/с	tg	lgDP	DP,Па	D,%	DP,Па	D,%
	5,01	0,6998	0,4771	3,02	+0,7	3,05	+1,7
	7,1	0,8513	0,7781	6,17	+2,8	6,12	+2,0
	9,10	0,9590	1,0000	10,24	+2,4	10,05	+0,5
	11,10	1,0453	1,1761	15,38	+2,6	14,96	0,4
	14,20	1,1523	1,3892	25,45	+3,9	24,45	-0,2
34,5	17,00	1,2304	1,5378	36,77	+6,6	35,08	+1,7
46,0	19,20	1,2833	1,6627	47,16	+2,7	44,75	-2,7
60,0	22,30	1,3485	1,7781	64,05	+5,3	60,37	+0,6
75,3	24,80	1,3945	1,8766	79,59	+5,7	74,67	-0,8
98,0	98,0	1,4564	1,9912	106,53	+8,6	99,30	+1,3

 

По экспериментальным данным строим график (в обычных координатах), представленный на рис.3.

 

 

Зависимость перепада давления DP от скорости

воздуха (уравнение 9) в обычных координатах

Рис.3.

Из сравнения полученной кривой с кривыми, приведёнными в табл.2., видно, что её можно аппроксимировать уравнением1, т.е. зависимость потери напора DP от скорости газа описывается уравнением вида

DP = a ^b

Обозначим Dp = y, = x. Путём логарифмирования линеаризуем уравнение (9)

lgy = lga + blgx (10)

или

Y = A + BX (11)

В соответствии с уравнением (11) полученные экспериментальные данные изобразятся в логарифмических координатах в виде прямой, как это действительно видно из рис.4.

Постоянные а и b определим графическим методом и методом средних.

Зависимость перепада давления DP от скорости воздуха (уравнение 9) в логарифмических координатах

Рис.4.

Графический метод. Продолжив на рис.4. экспериментальную прямую до пересечения с осью координат, получим при X=0 значение a=0,112 (A=-0,951). Постоянную b (угловой коэффициент прямой) находят построением, показанием на рис.4 пунктирными линиями в соответствии с уравнением 8а.

b= = 2.045

 

Таким образом, при использовании графического метода получаем следующее уравнение

 

DP= 0.112 ^2.045 (12)

Метод средних. Подставим в уравнение (11) значения величин, соответствующих экспериментальным данным из таблицы 3, получим следующие уравнения:

0,4771 = A + 0,6998B 1.5378 = A + 1,2304B

0.7781 = A + 0,8512B 1.6627 = A + 1,2833B

1.0000 = A + 0,9590B 1.7781 = A + 1,3483B

1.1760 = A+ 1,0453B 1.0767 = A+ 1,3944B

1.3891 = A+ 1,1522B 1.9912 = A+ 1,4563B

Разделив эти уравнения на две группы, и сложив уравнения каждой группы, получаем систему двух уравнений:

4,8203= 5A+4,7075B

8,8465=5A+6,7127B

Решая её, получаем: B= b= 2

A= lga= -0,9158 = 1,0842; a= 0,1214

Подставив эти значения в уравнение (9), найдём выражение для определения потери напора в отверстиях ситчатой тарелки в зависимости от скорости воздуха в отверстиях

P=0,1214 ² (13)

В правой части таблицы 3 приведены значения DP, вычисленные по эмпирическим уравнениям 12 и 13, а также отклонения расчётных значений величин в %, от значений полученных экспериментально. Как видно из таблицы 3, уравнение 13, полученное методом средних, является значительно более точным.

ПРИМЕР 2. При конвективной сушке молочного сахара в псевдоожижённом состоянии получены следующие данные:

τс
ωс	29,5	18,4	11,9	8,5	5,0	3,3

 

где τ_с – продолжительность сушки, с;

ω_с – влажность, рассчитанная на сухой остаток, %.

Найти эмпирическую формулу, связывающую приведённые выше экспериментальные данные.

Переводя полученные экспериментальные данные на простые прямоугольные координаты, по форме кривой мы получаем возможность подобрать функциональные шкалы(вид уравнения), в которых данные эксперимента расположатся вдоль прямой линии. То есть специальным подбором функциональных шкал исходный криволинейный график преобразуется к прямолинейному виду.

На рис.5. изображён график зависимостиω_с = f(τ _с) (сплошная кривая) и экспоненциальная зависимость вида ω_с = ae^nτ(штриховая кривая).

Если опытные точки в простых координатах располагаются около монотонных кривых, изображенных на рис.5, которых не спрямляются в логарифмических координатах, то можно попытаться спрямить их а полулогарифмических координатах. В этом случае делается предположение, что искомая зависимость описывается уравнениями следующих видов:

для кривой 1 ω_с = a₁е^n1τ (14)

для кривой 2 ω_с = a₂e^-n2τ (15)

График зависимости ω_с = f(τ _с) – кривая 2

(графическое изображение экспериментальных данных)

Рис.5.

Уравнения вида 14, 15 обычно встречаются при описании различных тепло- и массообменных процессов, протекающих во времени. Рассматриваемый пример убедительно подтверждает справедливость поговорки: «Природа любит натуральный логарифм»

Кроме того, подобные монотонные кривые удобно описать зависимостью вида:

Y= 10^a+bx (16)

Так как lgy= a+ bx(16а), то при наличии зависимости данного вида x и lgy связаны линейно, т.е. на полулогарифмической сетке (рис.6) зависимостью (16а) обращается в линейную.

Полагая y= ω_с, x= τ, найдём эмпирическую зависимость вида (16)

Линеаризованный график уравнения (16) (кривая 2 на рис.5)

Рис.6.

Пользуясь экспериментальными данными, составим табл.4.

ωс, %	τс ,с	lgωс	ωс расч	D,%
29,5		1,4693	28,7	2,7
18,4		1,2648	18,6	1,08
11,9		1,0755	12,0	0,84
8,0		0,9031	7,32	2,50
5,0		0,6990
3,3		0,5185	3,3
	Dср=1,18%

 

В соответствии а прологарифмированным выражением (16), напишим уравнения

1,4698 = a + 0b

1,2648= a + 20b

1,0755= a + 40b

0,9031= a + 60b

0,6990= a + 80b

0,5185=a +100b

Группируя уравнения по 3 в порядке проведения экспериментов, имеем

3,8101 = 3a+ 60b

2,1206 = 3a+ 240b

Решая эти уравнения, получим

a= 1,4568 b= -0,00938

Подставив полученные значения коэффициентов aи b в уравнение (16), получим следующую эмпирическую формулу

ω_с =10^{1,4568-0,0938τ}