Завдання 2. Геометрична ймовірність

1. Стержень довжиною L навмання розламали на дві частини. Яка ймовірність того, що довжина меншої частини не перевищує L/3?

2. В круг вписано квадрат. Точку навманн я кидають в круг. Яка ймовірність того, що вона попаде в квадрат?

3. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що задано напрямок хорди, а її середина з однаковою ймовірністю може попасти в будь-яку точку на діаметрі, що перпендикулярний їх напрямку. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

4. На відрізок, який розділений на три рівні частини, навмання кинуто три точки. Знайти ймовірність того, що на кожну з частин відрізку попаде по одній точці.

5. Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжиною на більше L можна побудувати трикутник?

6. На відрізок довжиною L навмання кинуто дві точки A і B. Яка ймовірність того, що довжина відрізку АВ менша L/2?

7. В лінійному рівнянні коефіцієнт навмання вибирається із замкнутого проміжку , а вільний член — з проміжку . Визначити ймовірність того, що корінь даного рівняння не менший одиниці.

8. Після бурі між 30-м і 80-м кілометрами телефонної лінії обірвався провід. Яка ймовірність того, що розрив відбувся між 50-м і 65-м кілометрами лінії?

9. Якої товщини повинна бути монета, щоб ймовірність падіння її на ребро дорівнювала 1/3?

10. На відрізок навмання кидають три точки, одну за одною. Яка ймовірність того, що третя по рахунку точка впаде між двома першими?

11. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що один кінець хорди закріплено, а другий з однаковою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку кола. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

12. На площині проведено паралельні прямі на однаковій відстані d одна від одної. На площину навмання кидають монету радіуса R (R<d/2). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодну з прямих.

13. Навмання взято два додатні числа х та у, кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток не більший 1, а частка не більша 2.

14. Коефіцієнти p і q квадратного рівняння вибираються навмання з проміжку . Яка ймовірність того, що корені рівняння будуть дійсними числами?

15. На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими рівна 2а. На площину навмання кидають голку довжиною 2L (L<a). Яка ймовірність того, що вона перетне одну з прямих?

16. В сигналізатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного із сигналів рівноможливе в будь-який момент проміжку часу тривалістю Т. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналу менша t (t<T). Знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацює за час Т, якщо кожен з пристроїв надішле по одному сигналу.

17. На паркетну підлогу навмання кидають монету діаметром d. Паркет має форму квадратів зі стороною b (b>d). Яка ймовірність того, що: а) монета не перетне жодної зі сторін квадратів паркету; б) монета перетне не більше однієї зі сторін квадратів паркету?

18. Два пароплави мають підійти до однієї пристані. Поява пароплавів — незалежна випадкова подія і однаково ймовірна протягом доби. Знайти ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення пристані, якщо час стоянки першого пароплаву — одна година, а другого — дві години.

19. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що середина хорди з однаковою ймовірність може потрапити в будь-яку точку круга. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

20. На відрізок ОА довжиною L числової осі ОХ навмання поставлено дві точки В(х) та С(у), причому . Знайти ймовірність того, що: а) довжина відрізка ВС менша L/2;

б) довжина відрізка ВС буде меншою від довжини відрізка ОВ.

21. В кулю радіуса R навмання кидають N точок. Знайти ймовірність того, що відстань від центру кулі до найближчої точки не менша b, 0 < b < R.

22. На колі навмання взято три точки А, В, С. Знайти ймовірність того, що трикутник АВС гострокутний.

23. Дві особи А та В домовилися зустрітися в проміжку часу від 10 до 12 години ранку. Обидві особи приходять в довільний момент часу з цього проміжку не залежно одна від одної і чекають 20 і 10 хвилин відповідно. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться?

24. На відрізок довжиною довільним чином ставлять дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не буде перевищувати ?

25. Сфера розміщена в еліпсоїді . Знайти ймовірність того, що кинута навмання всередину еліпсоїда точка виявиться всередині сфери?