Рекламний бюджет: 1 млн. Гривень

Телеканал може розмістити максимум 4 рекламних ролики.

На радіостанції вільний час є на 10 роликів.

У газеті місця вистачить на 8 рекламних оголошень.

5. Рекламне агентство готове розробити не більше 15 роликів/оголошень.

Кількості рекламних оголошень/роликів кожного виду ненегативні

Для того щоб вирішити завдання в пакеті Microsoft Excel необхідно перенести всю вихідну інформацію на робочий аркуш. В осередках, сірого кольору втримуються формули (формула з осередку B10 розтягується до B12).

 

Далі в діалоговому вікні надбудови «Пошук рішення» (Дані – Пошук рішення) уведемо інформацію про цільовий осередок, змінюваних осередках (керовані змінні) і обмеженнях.

Відповідь: 4 телевізійних ролики, 10 радиороликов, 1 оголошення в газеті.

. Індивідуальні завдання:

Завдання № 1. Сільськогосподарському кооперативу потрібне вугілля зі змістом фосфору не більше 0,03 % і із часток зольних домішок не більше 3,25 %. Комбінат закуповує три сорти вугілля, умовно позначених A, B і С, з відомим змістом домішок. У якій пропорції потрібно змішувати сорту вугілля A, B і C, щоб отримана суміш задовольняла обмеженням на зміст домішок і мала мінімальну ціну? Зміст домішок і ціна кожного сорту вугілля наведені в табл.

Сорт вугілля	Зміст, %	Ціна 1 т, грн.
Фосфору	Золи
A	0,06	2,0
B	0,04	4,0
C	0,02	3,0

Завдання № 2. Раціон для живлення тварин на фермі складається із двох видів кормів I і II. Один кілограм корму I виду коштує 80 грн. і містить: 3 ед. білків, 1 ед. жирів, 1 ед. вуглеводів, 2 ед. нітратів. Один кілограм корму II виду коштує 10 грн. і містить: 1 ед. білків, 3 ед. жирів, 8 ед. вуглеводів, 4 ед. нітратів. Скласти найбільш дешевий раціон живлення, що забезпечує білків не менш 9 ед., жирів не менш 6 ед., вуглеводів не менш 8 ед., нітратів не більше 16 ед.

Завдання № 3. У відділі технічного контролю (ОТК) підприємства працюють контролери 1-го й 2-го розрядів. Норма виробітку ОТК за 8-вартовий робочий день становить не менш 1800 виробів. Контролер 1-го розряду перевіряє 25 виробів у годину, причому не помиляється в 98 % випадків. Контролер 2-го розряди перевіряє 15 виробів у годину, його точність становить 95 %. Заробітна плата контролера 1-го розряду дорівнює 4 грн. у годину, контролер 2-го розряди одержує 3 грн. у годину. При кожній помилці контролера підприємство несе збиток у розмірі 2 грн. Підприємство може використовувати не більше восьми контролерів 1-го й десяти контролерів 2-го розряди. Керівництво підприємства хоче визначити оптимальний состав ОТК, при якому загальні витрати на контроль будуть мінімальними.

Контрольні запитання:

1. Побудова математичної моделі оптимізаційних задач.

2. Поняття цільової функції.

3. Робота з командою Пошук рішення.

4. Діалогове вікно Пошук рішень.

Практична робота №2

Тема: Алгоритмічні моделі в агросфері та їх аналіз.

Ціль роботи: Сформувати вміння й практичні навички побудови моделей, їхню реалізацію засобами Excel.

Хід роботи:

1. Завдання розподілу менеджерів по продажах між регіонами. Компанія, що переробляє сільськогосподарську продукцію вирішила почати продаж у двох нових регіонах і планує направити 10 менеджерів по продажах у ці регіони. У зв'язку з різною доступністю каналів збуту продукції в регіонах, середні витрати на забезпечення роботи одного менеджера (оплата телефонного зв'язку, бензину, офісного приладдя й т.п.) складуть 1 млн. гривень у рік у регіоні 1 і 700 тис. гривень у регіоні 2. Загальний бюджет на ці два регіони складе 6,2 млн. гривень. Виторг від продажів товару за винятком комісійних за прогнозами складе 87 млн. гривень розраховуючи на один продавця в регіоні 1 і 64 млн. гривень - у регіоні 2.

а. Скільки менеджерів потрібно послати в кожний регіон, щоб максимізувати прибуток?

б. Що буде якщо у Вашім рішенні забрати умову, що говорить про те, що число менеджерів виражається цілими числами? Чи виходить краще рішення шляхом округлення рішення звичайного завдання лінійного програмування без умови целочисленности?

Рішення

Нехай - число менеджерів, що направляються в регіон 1, а - число менеджерів, що направляються в регіон 2.

Цільова функція для компанії:

(максимізація прибутку)

Обмеження:

Число менеджерів: 10 чоловік

Бюджет на забезпечення роботи менеджерів у нових регіонах:

і - цілі ненегативні числа

 

Можливий варіант оформлення рішення в Microsoft Excel:

 

Відповідь: максимальний прибуток становитиме 551,8 млн. грн. Для цього необхідно 2 менеджерів відправити в перший регіон, а 6 менеджерів - у другий. Легко перевірити, що при відсутності обмеження на цілочисельність змінюваних осередків, округлення рішення завдання лінійного програмування приведе до меншого прибутку й невірного розподілу менеджерів між регіонами.

2. Вибір інвестиційних проектів. У Вас є на вибір 5 проектів. Одночасно можна вибрати кілька проектів, якщо є фінансова можливість. У таблиці наведена NPV (чиста наведена вартість) проектів виходячи з того, що вони принесуть за 5 років. Витрати будуть вимагатися протягом двох або трьох років, щороку засоби обмежені. Потрібно вибрати проекти таким чином, щоб максимізувати NPV при дотриманні обмежень на доступне фінансування й за умови неможливості одночасного розміщення споруджень у рамках і проекті 3, і проекту 4 одночасно.

Проект	NPV, млн. дол	Витрати на проект, млн. дол.
1 рік	2 рік	3 рік
№1
№2
№3
№4
№5
Доступне фінансування, млн. дол.

Рішення

Нехай

Потрібно максимізувати сумарну NPV:

При обмеженнях:

1. У перший рік можна витратити не більше 150 млн. дол.

2. У другий рік можна витратити не більше 110 млн. дол.

3. У третій рік можна витратити не більше 60 млн. дол.

4. приймає тільки одне із двох значень: 0 або 1.

5. Третій і четвертий проект не можуть бути реалізовані разом – тільки один з них.

Можливий варіант оформлення рішення в Microsoft Excel:

Відповідь: необхідно вибрати проекти №1, 4 і 5.

3. Вибір місць для розміщення магазинів. Мережа магазинів хоче розташувати магазини так, щоб вони були доступні жителям 17 муніципальних округів, населення яких, згідно зі статистичними даними, є найбільш активним у плані здійснення покупок. Магазин уважається розташованим поблизу від муніципального округу, якщо він розташований не більш ніж в 1 км від його границі. Пропонується на вибір 12 місць розташування, кожне з яких перебуває поблизу декількох муніципальних округів. Які з них потрібно вибрати, щоб, мінімізувавши загальну кількість місць розміщення магазинів, покрити всі 17 муніципальних округів.

Чи близько місце розташування до муніципального округу номер

місце розташування магазина

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

M8

M9

M10

M11

M12

M13

M14

M15

M16

M17

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

 

Нехай якщо обрано місце розташування P_i, те P_i =1, якщо ні, те P_i =0.

Цільова функція відбиває бажання мінімізувати кількість магазинів

Обмеження полягають у тім, що кожний муніципальний округ повинен бути представлений хоча б один раз. Наприклад, перший муніципальний округ буде охоплений тільки у випадку, якщо буде обране хоча б одне з місць розташування P₅ або P₆. Другий муніципальний округ – у випадку, якщо обрані P₂, P₆ або P₉ і т.д.

Можливий варіант оформлення рішення в Microsoft Excel:

 

Відповідь: необхідно вибрати місця розташування 3, 5, 6, 7, 8. Таким чином, досить усього 5 магазинів, для того щоб охопити всі 17 муніципальних округів.

 

Контрольні питання:

1. Побудова математичної моделі целочисленных завдань.

2. Поняття цільової функції.

3. Робота з командою Пошук рішення.

4. Діалогове вікно Пошук рішень.

 

Практична робота №2

 

Тема: Транспортні задачі та задачі про призначення

Ціль роботи: Сформувати вміння й практичні навички побудови моделей, їхню реалізацію засобами Excel.

Хід роботи:

Транспортна задача – це задача, у якій:

а. Продукт транспортується з деякої кількості місць (складів) у кілька пунктів призначення таким чином, щоб вартість доставки була мінімальною.

б. Кожний склад може поставити фіксована кількість одиниць товару, а кожний пункт призначення пред'являє попит на фіксовану кількість товару.

Нижче буде розглянутий найбільш реалістичний тип завдання: незбалансоване транспортне завдання, у якій або пропозиція перевищує попит, або попит - пропозиція.

 

Задача про призначення схожа на транспортну задачу, але в ній пропозиція та попит дорівнюють одиниці. Це типово для ситуації підбора співробітників на вакансії або розподіли робіт між діючими співробітниками. На кожну вакансію потрібно 1 співробітник, а кожний співробітник шукає 1 вакансію.

 

1. Транспортна задача. Пивоварна компанія, що має 3 склади, розвозить пиво по трьох магазинах. Вартість доставки 1 ящика пива зазначена в таблиці. Також у таблиці зазначено, скільки ящиків зберігається на кожному складі (140, 90 і 80, відповідно) і скільки ящиків потрібно кожному магазину (160, 60 і 110). Попит перевищує пропозиція.

а. Потрібно знайти, скільки ящиків потрібно з кожного складу поставити в кожний магазин для мінімізації загальних витрат на транспортування.

б. Вирішити завдання за умови, що неможливо транспортування ящиків зі складу 3 у магазин 1 у зв'язку із транспортними проблемами. Чи сильно виростуть мінімальні витрати?

	магазин A	магазин B	магазин C	Пропозиція, ящиків
склад 1	80 грн.	50 грн.	64 грн.
склад 2	75 грн.	100 грн.	110 грн.
склад 3	35 грн.	85 грн.	80 грн.
попит, ящиків

 

Рішення

Керовані змінні

– скільки ящиків буде доставлено з першого складу в магазин A, – скільки ящиків буде доставлено з першого складу в магазин B і т.д.

Цільова функція

Потрібно мінімізувати загальні витрати на транспортування:

Обмеження:

1. Необхідно реалізувати всю продукцію зі складів, тому

(пропозиція складу 1)

(пропозиція складу 2)

(пропозиція складу 3)

2. Якби попит був дорівнює пропозиції, ми б записали, що кожний магазин повинен одержати рівно стільки, скільки йому потрібно. Однак у випадку перевищення попиту над пропозиціями, прийде задовольнити потреби магазинів за принципом «не більше» того, що їм потрібно, тому що зайве магазини точно не захочуть здобувати в нас без попередніх домовленостей, тоді як деякий недолік товару прийнятний.

(попит магазина 1)

(попит магазина 2)

(попит магазина 3)

3. Необов'язкова умова (залежить від деталей процесу транспортування): кількість ящиків повинне бути цілим ненегативним числом

 

Можливий варіант оформлення рішення в Microsoft Excel:

 

Якщо неможливо транспортування ящиків зі складу 3 у магазин 1, то потрібно поставити дуже більшу вартість перевезення (наприклад, 1000 замість 35). Зробивши це й запустивши «Пошук рішення» знову, одержали наступний результат:

Відповідь: мінімальні витрати складуть 18020 гривень. Склад 1 повинен обслужити магазини B і C, склад 2 - магазини A і C, а склад 3 - тільки магазин A. При цьому тільки попит магазина C буде вдоволений не повністю. Якщо транспортування зі складу 3 у магазин A неможлива, то склад 1 обслужить магазини A, B і C, склад 2 - магазин A, а склад 3 - тільки магазин 3. Вартість транспортування зросте приблизно на 20% до 22070 гривень.

 

2. Задача про призначення. Завідувач кафедрою Херсонського ДАУ повинен розподілити 5 викладачів між 4-мя дисциплінами (оставшийся незадіяним буде завантажений перевіркою екзаменаційних робіт). Рейтинг, отриманий у минулому кожним викладачем за кожним курсом, представлений у таблиці (100 - максимальний бал).

 

Викладач	Курс
№1 Мікроекономіка	№2 Макроекономіка	№3 Статистика	№4 Эконометрика
A
B
C
D
E

Завідувач кафедрою бажає вибрати викладачів так, щоб їхній сумарний рейтинг був максимальний, а кожний викладав 1 курс.

Рішення

Керовані змінні

Нехай - елементи матриці A

Цільова функція

Нехай - рейтинг i-го викладача по j-му курсі, а R= - матриця.

Потрібно максимізувати сумарний рейтинг задіяних викладачів:

(даний запис еквівалентний максимізації суми добутків рейтингу кожного викладача на , тобто те, викладає він курс j чи ні). У скалярному виді цільова функція буде мати вигляд (для зручності сприйняття ми розбили запис на кілька рядків):

Обмеження

1. Всі курси читається одним викладачем.

2. Кожний викладач веде не більше 1 предмета:

(викладач A)

(викладач B)

(викладач C)

(викладач D)

(викладач E)

Можливий варіант оформлення рішення в Microsoft Excel:

Відповідь: викладач A веде мікроекономіку, викладач B – эконометрику, викладач C – статистику, викладач D – макроекономіку, викладач E заняття не веде.

Контрольні питання:

1. Побудова математичної моделі задач

2. Поняття цільової функції.

3. Робота з командою Пошук рішення.

4. Діалогове вікно Пошук рішень.

Практична робота №4