Екстремуми функції двох змінних (необхідні умови екстремуму).

Функція z = f (x,y) має максимум (мінімум) в точці , якщо значення в цій точці більше (менше), ніж її значення в будь – якій іншій точці деякого околу точки , тобто (відповідно ) для всіх точок , що задовольняють умову , де - достатньо мале число.

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом. Точка , в якій функція має екстремум, називається точкою екстремуму.

Якщо диференційована функція z = f (x,y) досягає екстремуму в точці , то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто ; .

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками функції. Не всі стаціонарні точки є точками екстремуму.

Нехай - стаціонарна точка функції z = f (x,y). Позначимо ; ; .Складемо дискримінант . Тоді:

якщо , то функція в точці має екстремум, а саме максимум при (або ) і мінімум при (або );

якщо , то в точці екстремуму немає (достатня умова існування або відсутності екстремуму);

якщо , то необхідно дослідити питання іншими методами (сумнівний випадок).

Схема дослідження функцій z = f (x,y) на екстремум

При дослідженні функцій z = f (x,y) на екстремум (при умові, що вона двічі диференційована) користуються правилом:

1.Знаходяться частинні похідні першого порядку функції z = f (x,y) і розв’язують систему рівнянь:

 

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками. Нехай одна з них

2. Знаходять частинні похідні другого порядку та мішані функції z = f (x,y) і обчислюють їх значення в точці

Позначимо ; ; .

3. Обчислюють визначник

.

Якщо виявляється, що то функція z = f (x,y) в точці має максимум при і мінімум при . Якщо ж то в точці екстремуму немає. Нарешті, якщо то питання про екстремум в цій точці залишається відкритим і вимагає додаткового дослідження.

Задача 2. Знайти екстремум заданої функції

а)

б)

Теоретичні відомості про градієнт функції

Похідна за даним напрямком. Градієнт функції.

Означення. Похідною функції z = f (x,y) в точці за напрямком вектора

= називається границя , де .

Якщо функція f (x,y) диференційована, то похідна за даним напрямком визначається за формулою: , де - кут, утворений вектором з віссю .

Градієнтом функції z = f (x,y) в точці називається вектор з початком в точці M, що має своїми координатами частинні похідні функції z:

. Градієнт функції і похідна за напрямком вектора пов’язані формулою: .

Градієнт вказує напрям найшвидшого зростання функції в даній точці. Похідна за напрямком градієнта має найбільше значення, що дорівнює:

.

Задача 3. Знайти похідну функції в точці M(3;4) за напрямком градієнта функції z.

Задача 4. Мале підприємство виробляє товари А і В. Загальні щоденні витрати V (в гривнях) на виробництво x одиниць товару А та y одиниць товару В відомі: . Визначити кількість одиниць товарів А і В, яку потрібно виробляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними.

Питання для самоконтролю знань, умінь.

1. Означення функції двох змінних (трьох та більшого числа змінних).

2. Неперервність функції.

3. Частинні похідні функції двох змінних.

4. Частинні похідні другого порядку. Мішані частинні похідні.

1. Похідна функції за напрямком.
2. Градієнт функції двох змінних.

7. Правило дослідження функції двох змінних на екстремум.

Висновок __________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Перевірив викладач________Оцінка___________Дата_________

 

 

ТЕМА 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 13

Тема. Розв’язування задач на обчислення невизначених інтегралів частинами та заміною змінних

Мета роботи: Навчитись обчислювати невизначені інтеграли частинами та заміною змінних.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки

2. Приклади задач

3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Основні формули інтегрування”, “Властивості невизначеного інтегралу”.

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

Теоретичні відомості про невизначений інтеграл та методи інтегрування

Означення. Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо f ¢(x)= F (x).

Означення. Невизначеним інтегралом від функції f (x) називається сукупність усіх первісних цієї функції.

Використовується позначення ,де f (x) dx - підінтегральний вираз, а C - стала інтегрування.

З геометричного погляду невизначений інтеграл – це сукупність (сім’я) ліній F (x)+ C