Свойства линейных операций с векторами

Для любых векторов и любых чисел α, β:

 

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число () такое, что .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое и равное произведению их модулей и косинуса угла между ними, т.е.

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов и любых чисел α, β:

Из определения скалярного произведения следует, что угол между ненулевыми векторами определяется формулой

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен.

Из формулы (1) следует условие ортогональности векторов:

два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.

(нулевой вектор считается ортогональным любому вектору).

Механический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы , действующей на материальную точку, при ее перемещении из точки в точку определяется формулой

 

 

4.Векторное произведение векторов

 

Векторным произведением векторов и называется вектор, , который обозначается и удовлетворяет следующим трем условиям:

 

образуют правую тройку, т.е. из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.

Замечание. Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из определения векторного произведения следует, что для любого вектора .

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Свойства векторного произведения векторов

Для любых векторов и любых чисел α, β:

, т.е. векторное произведение антикоммутативно;

1. , т.е. векторное произведение дистрибутивно относительно сложения;

2. , т.е. векторное произведение ассоциативно относительно вещественного множителя.

 

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

|| , если

(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).

Смешаное произведение векторов

 

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое () и определяемое равенством

,

т.е. векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор .

По определению скалярного и векторного произведений имеем

() = ( = = ,

причем знак (+) берется в том случае, когда угол θ острый, т.е. тройка векторов — правая, знак (−) берется в том случае, когда угол θ тупой, т.е. тройка векторов — левая (здесь — угол между векторами , а — угол между векторами () и ).

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком (+), если тройка векторов — правая, и со знаком (−), если тройка векторов — левая.

Свойства смешанного умножения векторов

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2. ( = операции векторного и скалярного умножения в смешанном произведении можно менять местами;

3. в смешанном произведении можно осуществлять круговую перестановку множителей местами;

4. в смешанном произведении при перестановки двух множителей местами меняется знак произведения на противоположный;

 

(Из примерного содержания практического пособия для учащихся)

Вопросы к повторению темы «Прямая на плоскости»:

1. При каком условии прямая проходит через начало координат?

2. При каком условии прямая параллельна оси абсцисс?

3. При каком условии прямая параллельна оси ординат?

4. При каком условии уравнение прямой можно записать в отрезках?

5. При каком условии прямые и пересекаются?

6. При каком условии прямые и параллельны?

7. При каком условии прямые и совпадают?

 

Контрольная работа