Огинаючі епюри M і Q в нерозрізній балці

 

Огинаючими або обвідними епюрами вигинаючих моментів і поперечних силявляються епюри, в яких мають місце мінімальні і максимальні значення цих зусиль (М_mах, М_mіn, Q _max, Q _min) від одночасної дії на балку постійного та тимчасового навантаження.

Для визначення максимального моменту М_max в заданому перерізі балки до моменту від постійного навантаження М_пост. додають всі позитивні моменти від тимчасового навантаження в заданому перерізі.

Для визначення мінімального вигинаючого моменту М_mіп в будь-якому перерізі до моменту від постійного навантаження додають всі негативні моменти в заданому перерізі від тимчасового навантаження:

 

, (2.24)

. (2.25)

 

Аналогічно визначають Q _max та Q _min:

 

, (2.26)

. (2.27)

 

Видно, що для побудови огинаючих епюр М і Q необхідно побудувати епюри вигинаючих моментів і поперечних сил методом фокусів при завантаженні нерозрізної балки постійним навантаженням. При дії тимчасового навантаження розглядають окремо кожен завантажений прольот і будують при цьому епюри М_{тимч .} і Q _{тимч .}. На балці намічають ряд перерізів (кінці консолей, опори, середини прольотів, місця прикладання зосереджених сил або моментів) і для кожного перерізу по залежностях (2.24), (2.25), (2.26), (2.27) підраховують необхідні значення ординат обвідних епюр. Визначення ординат М_max i M_min зручно вести в табличній формі.

Розглянемо ту ж нерозрізну балку (рис. 2.15а). За постійне навантаження приймемо рівномірно розподілене q_пост. = 2 кН/м по всій довжині балки (рис. 2.20), а за тимчасове - те навантаження, яке діє на балку на рис. 2.15а.

Методом фокусів будуємо епюру вигинаючих моментів від постійного навантаження q_пост. = 2 кН/м по всій довжині балки. Епюра М_пост. показана на рис. 2.20б. По епюрі М_пост. побудуємо епюру Q _{пост .}(рис. 2.20в).

Завантажуємо прольот тимчасовим навантаженням кН і будуємо для балки епюри та (рис. 2.20г,д).

Завантажуємо прольот тимчасовим навантаженням кН/м та будуємо епюри та (рис. 2.20е,ж).

Завантажуємо праву консоль балки кНм і будуємо епюри та (рис. 2.20з,и).

 

Таблиця 2.8

№№ пере-різів		Моменти від тимчасового навантаження
Прольот	Прольот	Прольот	Права консоль
І	0.69	-6.73	4.42		0.14	5.25	-6.04
ІІ	-0.35	5.86	-2.21		-0.07	5.51	-2.63
ІІІ	-9.39	-1.55	-8.83		-0.28	-9.39	-20.05
IV	7.2	-0.52	7.72		0.24	15.16	6.68
V	-8.2	0.52	-7.72		0.76	-6.92	-15.92
VI	-2.1	0.26	-3.86		-1.62	-1.84	-7.58
VII	-4.0				-4.0	-4.0	-8.0
VIII					-4.0		-4.0

 

Для побудови епюр вигинаючих моментів та поперечних сил можна частково використати дані з таблиці 2.3.

Позначаємо на нерозрізній балці 8 перерізів (на опорах, в серединах прольотів, на консолі) (див.рис. 2.21а) і для кожного прийнятого перерізу за формулами (2.24)-(2.27) знаходимо максимальні та мінімальні значення вигинаючих моментів та поперечних сил. Підрахунки зручно вести в табличній формі (таблиці 2.8 і 2.9).

По отриманих даних таблиці 2.9 в прийнятому масштабі будуємо огинаючу епюру моментів (рис. 2.21б).

Для визначення та таблицю 2.9 вигідно зробити в такому вигляді, щоб в місці прикладання зосередженої сили можна було б розглянути перерізи трохи лівіше та трохи правіше.

 

Таблиця 2.9

№ № пере-різів		Поперечні сили від тимчасового навантаження
Прольот	Прольот	Прольот	Права консоль
І-ІІ	1.48	6.3	-3.31		-0.11	7.78	-1.94
ІІ-І	-2.52	6.3	-3.31		-0.11	3.78	-5.94
ІІ-ІII	-2.52	-3.7	-3.31		-0.11	-2.52	-9.64
III-II	-6.52	-3.7	-3.31		-0.11	-6.52	-13.64
III-V	8.15	0.26	8.14		0.13	16.68	8.15
V-III	-7.85	0.26	-7.86		0.13	-7.46	-15.71
V-VII	5.05	-0.13	1.93		-1.19	6.98	3.73
VII-V	-2.95	-0.13	1.93		-1.19	-1.02	-4.27
VII-VIII	4.0					4.0	4.0
VIII-VII

Рисунок 2.20

Рисунок 2.21

 

По даних таблиці 2.9 в прийнятому масштабі будуємо огинаючу епюру поперечних сил (рис. 2.21в) для заданої нерозрізної балки.

Огинаючі епюри мають важливе значення при визначенні поперечних перерізів елементів конструкцій.

 

 

Розрахунково-графічна робота № 3 по темі

“Розрахунок плоскої статично невизначУВАНОЇ рами методом переміщень”

Розрахунок плоскої рами методом переміщень можна виконувати в канонічній чи розгорнутій формі.

Необхідно: побудувати епюри згинаючих моментів М, поперечних Q та поздовжніх N сил, а також підібрати поперечні перерізи і перевірити на міцність.

Розрахункові схеми плоских статично невизначених рам показані на рис. 3.1, вихідні дані приведені в таблиці 3.1.

 

Канонічна форма розрахунку

1. Встановлюють ступінь кінематичної невизначуваності рами за наступною формулою:

(3.1)

де – кількість вільних рамних вузлів;

– число можливих лінійних переміщень (підраховують для шарнірної розрахункової схеми рами, коли в кожний вузол заданої системи, включаючи й опорні, введені повні шарніри). Число можливих лінійних переміщень буде дорівнювати числу зв’язків, які необхідно прикласти до змінної шарнірної системи, щоб перетворити її в незмінну.

 

2. Вибирають основну систему методу переміщень, вводячи зв’язки, що перешкоджають можливим кутовим і лінійним переміщенням .

Наприклад, для системи, зображеної на рис. 3.1 маємо: (жорсткі вільні вузли 1 та 2), (один додатковий стержень необхідно прикласти до шарнірної системи у вузлі 2, щоб перетворити її в геометрично незмінну).

 

Рисунок 3.1

 

3. Записують систему канонічних рівнянь методу переміщень для кінематично невизначуваної рами. Так, для три рази кінематично невизначуваної системи маємо наступну систему:

(3.2)

4. За даними додатку 4 будують одиничні епюри ..., і вантажну .

5. Підраховують коефіцієнти та вільні члени системи канонічних рівнянь, розглядаючи рівновагу вузлів відповідних епюр або частин системи.

Правильність підрахунку коефіцієнтів і вільних членів перевіряють так само як в методі сил.

6. Знайдені коефіцієнти і вільні члени підставляють в систему канонічних рівнянь і розв’язують її.

7. Будують виправлені одиничні епюри, помножаючи ординати одиничних епюр на знайдені значення невідомих , ,..., , а також сумарну виправлену епюру .

8. Будують остаточну розрахункову епюру згинаючих моментів шляхом складання вантажної епюри з сумарною виправленою .

Розрахунковий момент в будь-якому перерізі рами дорівнює:

(3.3)

9. За кінцевою епюрою згинаючих моментів будують епюру поперечних сил , а за останньою – епюру поздовжніх сил .

10. Перевіряють правильність побудови епюри та шляхом розглядання рівноваги відрізаної частини рами під дією зовнішнього навантаження, поперечних і поздовжніх сил, прикладених до відрізаної частини.

11. Підбирають поперечні перерізи рами та перевіряють раму на міцність так само як при розрахунку рами методом сил.

Таблиця 3.1 – Вихідні дані для РГР №3.

№ п/п	, м	, м	, кН	, кН	, кН/м	, кН/м		[ σ ]
					–		1,5
						–	2,0
					–		1,4
						–	2,0
					–		1,8
						–	1,0
					–		2,0
						–	1,6
					–		1,5

Примітка: погонна жорсткість визначається за формулою .

Рис. 3.7 – Варіанти розрахункових схем кінематично невизначуваних рам для РГР №3.

Продовження рис. 3.7

 

Продовження рис. 3.7

Продовження рис. 3.7

Розгорнута форма розрахунку

1. Так само, як і при канонічній формі розрахунку, визначають ступінь кінематичної невизначуваності заданої рамної конструкції. Див. формулу 3.1.

2. Записують основні та додаткові рівняння методу переміщень. Основні рівняння виражають умову рівності нулю суми моментів в кожному вільному жорсткому вузлі. Додаткові рівняння мають місце при наявності лінійних переміщень.

Так, для рами, зображеній на рис. 3.1, основні рівняння мають вигляд:

(3.4)

Щоб скласти додаткове рівняння, відсікаємо частину рами так, щоб в переріз увійшли стержні, що мають лінійні переміщення, розглядаємо рівновагу відрізаної частини під дією заданого зовнішнього навантаження, прикладеного до відрізаної частини, і поперечних сил, прикладених до місць розрізу стержнів (рис. 3.2). Умовою рівноваги буде сума проекцій всіх сил на вісь, перпендикулярну до розрізаних стержнів, що дорівнює нулю.

(3.5)

Рисунок 3.2

 

3. За відомими залежностями (3.6) та (3.7) підраховують вузлові моменти, що входять до основних рівнянь, та поперечні сили, що входять до додаткових рівнянь:

а) для стрижнів, жорстко закріпленого з обох боків:

(3.6)

а) для стрижнів, що має з одного боку шарнір:

(3.7)

 

(3.8)

Примітка: знак в формулах 3.6-3.7 вибирають за наступними схемами:

 

 

Значення приймаємо за додатком 5.

 

4. Використовуючи основні та додаткові рівняння, формують систему рівнянь, в якій невідомими будуть кути повороту та лінійні переміщення .

 

5. Розв’язують систему рівнянь, знаходячи невідомі кути повороту та інші та лінійні переміщення і т.д.

 

6. За приведеними залежностями для кожного стержня заданої рамної конструкції підраховують кінцеві згинаючі моменти і поперечні сили.

 

7. За підрахованими даними будують остаточні епюри згинаючих моментів і поперечних сил , а потім епюру поздовжніх сил .

 

8. Перевіряють правильність побудованих епюр тими ж способами, що і при розрахунку рами методом сил.

 

9. Підбирають поперечні перерізи і перевіряють раму на міцність.

Приклад розрахунку

два рази кінематично невизначуваної плоскої рами методом переміщень (канонічна форма)

Необхідно: побудувати епюри згинаючих моментів М, поперечних Q та поздовжніх N сил, а також підібрати поперечні перерізи і перевірити на міцність.

а) б) в)

Рисунок 3.3 – а) Задана схема кінематично невизначуваної рами;

б) шарнірна схема заданої рами; в) основна система.

1. Визначаємо ступінь кінематичної невизначуваності рами за формулою , тобто система два рази кінематично невизначувана. В заданій рамі один жорсткий вузол, тобто . Кількість можливих лінійних переміщень визначаємо при дослідженні геометричної незмінності шарнірної схеми рами (рис. 3.3 б). .

 

2. Вибираємо основну систему 2 рази кінематично невизначуваної рами, вводячи зв’язки та . (рис. 3.3 в).

 

3. Записуємо систему канонічних рівнянь для два рази кінематично невизначуваної рами:

 

 

 

4. За даними додатку 4 будуємо одиничні епюри і вантажну .

 

 

Рисунок 3.4 – Одиничні епюри та .

 

5. Підраховуємо коефіцієнти та вільні члени системи канонічних

рівнянь, розглядаючи рівновагу вузлів відповідних епюр або частин системи.

 

 

; ; ; ; ; .

6. Розв’язуємо систему рівнянь відносно невідомих та .

7. Будують виправлені епюри, помножуючи ординати одиничних епюр на відповідні значення невідомих , , а також сумарну виправлену епюру .

 

 

а) б) в)

Рисунок 3.5 – Виправлені одиничні епюри , та сумарна виправлена епюра

8. Будуємо остаточну епюру розрахункових моментів шляхом складання вантажної та сумарної епюр. Епюра показана на рис. 3.6 а.

9. За остаточною епюрою моментів будуємо епюру поперечних сил , використовуючи формулу Журавського (1.14). А за епюрою поперечних сил будуємо епюру поздовжніх зусиль . Остаточні епюри та показані на рис. 3.6, б, в.

Ділянка 12: кН;

 

 

кН;

 

Ділянка 13: кН;

Ділянка 14: кН

 

а) б) в)

Рисунок 3.6 – Остаточні епюри а) епюра згинаючих моментів,

б) епюра поперечних сил та в) епюра поздовжніх зусиль.

 

11. Перевіряють правильність побудови епюри та шляхом розглядання рівноваги відрізаної частини рами під дією зовнішнього навантаження, поперечних і поздовжніх сил, прикладених до відрізаної частини.

Вузол 1:

 

 

12. Підбираємо поперечні перерізи рами у вигляді двотавра.

Стрижень 1-2 (ригель): ;

Стрижень 3-4 (ригель): ;

За сортаментом підбираємо двотаври:

Стрижень 1-2 (ригель): двотавр №12 (, )

Стрижень 3-4 (стійка): двотавр №10 (, )

 

Визначивши розміри, перевіряємо міцність стрижнів:

Стрижень 1-2 (ригель):; , проте перенапруження складає 4,2 %, що знаходиться в межах інженерної точності розрахунків.

Стрижень 3-4 (ригель): ;

або

 

Отже, остаточно підібрані такі перерізи: стрижень 1-2 (ригель): двотавр № 12; стрижень 3-4 (стійка): двотавр № 10.

Приклад розрахунку

два рази кінематично невизначуваної плоскої рами методом переміщень (розгорнута форма)

Необхідно: побудувати епюри згинаючих моментів М, поперечних Q та поздовжніх N сил, а також підібрати поперечні перерізи і перевірити на міцність.

Схема рами зображена на рисунку 3.3 а.

 

1. Так само, як і при канонічній формі розрахунку, визначаємо ступінь кінематичної невизначеності. . Невідомими є кут повороту () та лінійне зміщення ( - деформацією розтягу/стиску нехтуємо), тобто рама має дві невідомих. Для їх знаходження треба скласти два рівняння.

2. Записуємо основне рівняння, виходячи з умови рівноваги жорсткого вузла 1.

 

 

Записуємо додаткове рівняння. Для цього перерізаємо стрижні, які мають лінійні зміщення. В нашому випадку це стрижні 1-3 та 1-4.

 

 

3. За відомими залежностями (3.6) та (3.7) підраховуємо вузлові моменти, що входять до основних рівнянь, та поперечні сили, що входять до додаткових рівнянь:

Попередньо обрахуємо значення погонної жорсткості (формула 3.8):

 

.

4. Використовуючи основні та додаткові рівняння, формуємо систему рівнянь, в якій невідомими будуть кути повороту та лінійні переміщення .

 

- основне рівняння.

 

- додаткове рівняння.

 

Зазначимо, що система рівнянь, отримана при розгорнутій формі розрахунку, аналогічна системі рівнянь, отриманій при канонічній формі.

 

5. Розв’язуємо систему відносно та .

 

 

6. За приведеними залежностями для кожного стержня заданої рамної конструкції підраховуємо кінцеві згинаючі моменти і поперечні сили.

7.

 

 

 

 

 

 

 

7. За підрахованими даними будуємо остаточні епюри згинаючих моментів і поперечних сил , а потім епюру поздовжніх сил .

Розрахункові епюри зображені на рис. 3.6.

 

8. Наступні пункти аналогічні пунктам при розрахунку рами методом переміщень з використанням канонічної форми.

 

 

 

ДОДАТКИ Додаток 1

Схема навантаження

Додаток 2

Обрис епюри	Площа епюри	Координати центру ваги

 

Додаток 3

Епюра   Епюра

 

Додаток 4

Схема балки та епюра згинаючих моментів	Формули моментів і реакцій
Балка, закріплена з обох боків жорстко

Продовження дод. 4

Балка, що має з одного боку шарнір

Примітка: Повна таблиця для різних способів завантаження приведена в книзі Ю.И. Бурлакова и др. Строительная механика. – М., 1983. – с. 173.

Додаток 5

Схема балки та навантаження
Балка, закріплена з обох боків жорстко
Схема балки та навантаження
Балка, що має з одного боку шарнір
		0
		0
		0
		0

 

 

Додаток 6