Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
9 ВОПРОС Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается ab,а* b(или(а, b)).Итак, по определению, Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем: т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором. условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b: Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.
11вопрос Смешанное произведение векторов. Условие компланарности трех векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства. Компланарность векторов. Условия компланарности векторов. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. Условия компланарности векторов Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
12 вопрос Общее уравнение прямой: Ах + Ву + С = 0,где А и В не равны нулю одновременно.
Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т.е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ, при В = 0 прямая параллельна оси ОY. При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY, имеет вид: у – у 0 = m (x – х 0),где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ. При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях: где a = – C / A, b = – C / B. Эта прямая проходит через точки (a, 0) и (0, b), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2): Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a, b): Условие параллельности прямых: 1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0: AE – BD = 0 2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q: m = p. Условие перпендикулярности прямых: 1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0: AD + BE = 0 2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q: m p = – 1 Расстояние между двумя точками (x 1, y 1) и(x 2, y 2) Расстояние от точки (х 0 , у 0) до прямой Ах+ Ву+ С = 0
Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 Угол между прямыми: 13Эллипс. Его характеристики.
Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1 и F 2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная Уравнение эллипса (рис.1): Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1), при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса. Отрезок F 1 F 2 = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осьюэллипса. Число e = c / a, e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Пусть Р (х 1, у 1) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид: Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1: k 2 = m 2 a 2+ b 2.
14.Гипербола. Ее характеристики. Гиперболой (рис.1) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F 1 и F 2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Уравнение гиперболы (рис.1): Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии. Отрезок F 1 F 2 = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы. Число e = c / a, e > 1 называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± (b / a) x называются асимптотами гиперболы. Пусть Р (х 1, у 1) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид: Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1: k 2 = m 2 a 2– b 2. Свойства: -Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (– a; 0), которые называются вершинами гиперболы. - Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
- Гипербола имеет центр симметрии. - Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках.
15Парабола. Ее характеристики. Параболой (рис.1) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы. Уравнение параболы (рис.1): y 2 = 2 p x. Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы. Пусть Р (х 1, у 1) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид: у 1 y = p (x + х 1). Условие касания прямой y = m x + k и параболы y 2 = 2 p x:2 m k = p. Свойства параболы: 1Парабола — кривая второго порядка. 2Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. 3Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. 4Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. 5Парабола является антиподерой прямой. 6Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
16 Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат имеет вид Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F=0 Параллельный перенос. Передвинем систему координат X Y Z в трёхмерном пространстве так, чтобы оси OX, OY и OZ оставались параллельны самим себе, а начало координат О сместилось в точку О' (a, b, с). Получим новую систему координат X' Y' Z'. Координаты точки Р в новой и старой системе координат связаны соотношениями: Поворот осей координат. Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70). Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ. Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах: х = | ОР |, у = | РM |, X = | ОР1 |, Y = | Р1M |. Рассмотрим ломаную линию ОР1MP и возьмем ее проекцию на ось Ох. Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка имеем: ОР1MP = | ОР |. (4) С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев следовательно, равенство (4) запишется так: пр ОР1 + пр Р1M + пp MP =| ОР
Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то пр ОР1 = X cos α пр Р1M = Y cos (90° + α) = — Y sin α, пp MP = 0. Отсюда равенство (4') нам дает: x = X cos α — Y sin α. (5) Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу, получим выражение для у. В самом деле, имеем: пр ОР1 + пр Р1M + пp MP = пp ОР = 0. y = X sin α + Y cos α. (6) Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у, если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y.
17ВопросУравнение кривых второго порядка в полярной системе координат. Общее уравнение второго порядка + 2 ху + + х + у + = 0 1 Уравнение окружности в центре (; ) R (х - )2 + (у - )2 = R2 х2 + у2 = R2 2 Эллипс – геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. + = 1 3 Гипербола – кривая второго порядка, которая в некоторой системе координат описывается уравнением + = 1 где а > 0, b > 0 – параметры гиперболы. Точка пересечения гиперболы с осью ОХ (± а, 0) называется вершинами гиперболы. С осью ОY гипербола не пересекается. Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b) + = -1 4Парабола – кривая второго порядка, которая в некоторой системе координат описывается уравнением = 2 рх где р > 0 – параметры параболы.
18 вопрос Общее уравнение плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0,где А, B и C не равны нулю одновременно.Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости (т.е. вектора, перпендикулярного плоскости). При А 0, В 0, С 0 и D 0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях: где a = – D / A, b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c. Уравнение плоскости, проходящей через точку (х 0 , у 0, z 0 ) и перпендикулярной вектору (А, В, C): А (х – х 0) + В (у – у 0) + С (z – z 0) = 0. Условие параллельности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0. Условие перпендикулярности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: АE+ ВF+ СG = 0. Расстояние между двумя точками (х 1 , у 1, z 1 ) и(x 2, y 2, z 2): Расстояние от точки (х 0 , у 0, z 0 ) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0: Угол между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:
19 ВОПРОС Прямая в пространстве. Способы ее задания. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1, z 1) и (х 2, у 2 , z 2):
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0, z 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a, b, с): Пусть заданы две плоскости Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0, причём их нормальные векторы неколлинеарны, тогда система уравнений
описывает прямую – линию пересечения этих плоскостей. Пусть (a, b, с) и (p, q, r) – направляющие векторы двух прямых, тогда имеем условие параллельности прямых: aq – bp = br – cq = ar – cp = 0,
условие перпендикулярности прямых: ap + bq + cr = 0, угол между прямыми: угол между прямой и плоскостью:
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-28; просмотров: 325; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.31.159 (0.097 с.) |