Нейр. Сети. Одн. Перцептр. Актив. Ф-ия. Лог. Операц. На основе прст. Перцептр.

Нейронные сети представляют собой упрощенную модель человеческого мозга. Мозг состоит из нейронов, которые яв-ся индивидуальными процессорами. Нейроны соединяются друг с другом с помощью нервных окончаний двух типов: синапсов, через которые в ядро поступают сигналы, и аксонов, через которые нейрон передает сигнал далее. Человеческий мозг состоит примерно из 10¹¹ нейронов. Каждый нейрон связан примерно с 1000 других нейронов (это не относится к коре головного мозга, где плотность нейронных связей намного выше).

Однослойный перцептрон представляет собой концептуальную модель, которая состоит из одного процессора. Каждое соединение от входа к ядру включает коэффициент, который показывает фактор веса и обозначается с помощью веса Wi который определяет влияние ячейки Ui на другую ячейку. Положительные веса показывают усиление, а отрицательные запрещение. Совместно с входами в ячейку они определяют поведение сети. Схема однослойного перцептрона представлена на рис.

Ячейка включает три входа (u1, u2 и u3). Кроме этого, есть вход смещения (W0), о котором будет рассказано позже. Каждое входное соединение имеет вес (w1, w2 и w3 ). Наконец, существует единый выход, О. Состояние нейрона обозначено как Y и определяется уравнением. Y = w0 + u1*w1 + u2*w2 + u3*w3

Выражение, показанное в уравнении, яв-ся функцией, которая суммирует сигналы на всех входах с учетом веса, а затем добавляет смещение. Затем результат передается в активационную функцию, которая может быть определена так, как показано в уравнении (в данном случае функция яв-ся пороговой).

y = -1, если (y<=0) (5.2)

y = 1, если (y> 0)

Если значение состояния больше нуля, то выходное значение будет равно 1. Иначе оно составит -1.

Хотя однослойный перцептрон яв-ся очень простой моделью, ее возможности весьма велики. Например, можно легко сконструировать базовые логические функции.

функция И имеет значение 1, если оба входа равны 1, в противном случае функция возвращает значение 0. Поэтому если заданы оба входа (вектор u = (1,1)), то, используя активационную функцию в качестве порога, получим следующий результат:

Y = смещение + u1*w1, + u2*w2 или 1 = nopoг(-1+(1*l)+(l*1)).

Теперь попробуем подставить вектор и = (0,1):

Y = смещение + u1*w1, + u2*w2 или 1 = порог(-1 + (0*1)+(1*1)).

Как показывают оба примера, модель простого перцептрона правильно реализует логическую функцию И (а также функции ИЛИ и НЕ).

Приближенное решение уравнений. Методы бисекции, хорд, касательных, комбинированный, итераций. Погрешность методов.

Приближённое решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

Метод бисекций.

Пусть дано ур-ие f(x)=0 где f(x)-непрерывно на некотором конеч или бесконеч интерв. Конем этого ур. Назовем " число обращ-е f(x) в 0, если f(x₀)=f ^/(x₀)=…f^k-1(x₀)=0, то x₀ корень кратности к точно решить данное ур-ие не всегда удается, будем гов-ть, что x­­­^—есть приближенное решение ур-ия с точн-ю e если |a-x­^––| <=e,где а точный корень –e<= a-x^––<=e или a-e<=x^––<=a+e.Задача о нахожд приближ корня обычно реш-ся в 2 этапа 1) отдел-ся корень т.е. ищется по возм-ти небольш отр-ок [a, b] содерж ровно один корень. 2) корень уточн-ся до нужной точности. 1) а) отделение корня м.о. пр-ти графически. б) если график сложен, то ур-е мо переписать в виде g(x) =f(x) (и построить гр-ки y=g(x), y=f(x) и точка пересеч б.т. корень). в) мо для отделен корня исп-ть. теор. Т.если непрерыв ф-я на концах отр приним-ет значен разных знаков, то на отр-ке она имеет по кр-не. мере один корень. Если ф-я монотонна, то кор-нь один. Пусть изв-но, что корни Ур-я нах-ся на конц отр-ка [a,b]разделим отрезок на равные части точками a=a₀­<a₁<…<a_n=b и проверим знаки на концах отр-ка [a_i,a_i+1] i=0,n-1 если условие теор вып-ся отр-к содерж корень, алгор-м метода м.б. следующим а,в концы отрезка, n-кол-во отр-ов деления.

 

2) одним из простейших способов уточнения корня явл-ся метод бисекции сост-ий в следующем: пусть на отр. [a,b] yf[-cz ровно 1 корень уровн. Найдем корень с точн-ю e. Разделим отр. Пополам. Точкой x₁ =(a+b)/2, половину содерж корень вновь делим пополам итд. Процесс прекращ, когда длина отр-ка не станет <=2e тогда за приближ значение корня x^–– возьмем середину этого отр-ка.

Алгоритм следующий.

 

|a-b|>=2e

f(x)f(a)<=0

a фfgф b:=x a:=x x:=(a+b)/2 X=(a+b)/2 a,b, e   |x1-x0| >e

x0 b

c x2 x1

=f(x)

Метод итераций (последов-ых приближений) Уравнение f(x)=0 перепишем в виде x=j(x), пусть каким либо образом найдено приближенное значение корня x₀ подставляя x₀ в правую часть ур-я получим число x₁=j(x), продолжая таким же обр-ом получим x_n=j(x_n-1) получим бесконеч числов посл-ть {x_n }допустим, что она имеет lim т.е. limx_n­=с (n–>беско-ть)тогда предполагая непрерыв j(x) и переходя к пределу для x_n получим limx_n=limj(x_n-1) (x_n,n–> беск-ти)=> c=j(c) т.е. с-корень. Вопрос о сходимости {x_n} решает теорема Т. Пусть ф-я j(x) определена и диффер на некотор отр [a,b] и удовл услов 1) j(x) принадлеж [a,b], 2) j ^/(x)<=q<=1 x принадлеж [a,b] тогда посл-ть {x_n} задаваемая соотнош x_n=j(x_n-1) сходится при " x₀ взятом из [a,b]

Теорема явл-ся достаточной но не обязат для сходимости.

Геометрич смысл метода итераций.

y

x2=j(x1)

)     x1=j(x0)

y=x x=j(x) x1=j(x0) x2=j(x1) x3=j(x2

x0,e

Если j(x) услов теор не удовлетвор мо провести след преобр f(x)=0 умнож обе части на a,a f(x)=0 и прибавим x, x=x+a f(x), тогда j(x)=x+a f(x) подбирая a добиваемся выполнения условия теоремы.На практике для получения приближ значения корня с точностью e вычисл прекращ, когда |x_n-x_n-1|<=e за корень бирут x^––=x_n.

Алгоритм имеет вид

Методами хорд и касс-ых.

М-д хорд.

Пусть корень Ур-ния f(x)=0, [a,b] допустим, что на [a,b] существ. f’’(x), к-ое не мен. знак. Пусть для определ-ти f(a)<0. Пусть f’’>0 (рис.): провед. хорду АВ и найдем ее пересеч. с осью x. Пусть А₁ пересечение y=f(x) и прямой x=x₁, проводим хорду А₁В, пусть x₂ – ее пересеч. с осью x и т.д.

Получ. ∞ числов. послед-ть {x_n}. Для нахожд. x_i используем Ур-ние прямой, прох. ч/з 2 точки:

найдем:

В послед-сти x_n: a=x₀<x₁<…<x_n<…<b т.е. посл-ть x_n имеет предел, как возрост-ая и ограниченная сверху, т.е.

перейдя к пределу:

т.е.с-кор-нь

М-д касательных. Пусть корень ур-ния f(x)=0 отделен на отрез. [a,b], причем f’’ не меняет знака на [a,b]. Возьмем для опред-сти f(a)<a, f’’>0

Провед. касат. к тому концу дуги АВ в к-ром f*f’’>0. Пусть x₁ ее пересеч. с Ox обозначим ч/з b₁ пересеч. прямой x=x₁ и дуги АВ. Провед. касат. в т.В₁ пусть x₂ ее пересеч. с Ox и т.д. Получ. ∞ послед-ть {x_n} имеющую предел как убывающая и огранич. x_n – б/м искать из ур-ния касат. Ищем x₁:

y-f(b)=f’(b)(x-b), полагая y=0 x=x₁

анал-но …

т.к. то переходя к пределу, получим:

т.е. с – корень

На практике для получ. корня с точн. ε заканчив. вычисл., когда

Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.