Застосування визначеного інтеграла до геометрії

1. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

2. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі 0y фігури, обмеженої параболами і .

3. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі 0y фігури, обмеженої параболами і .

4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і прямою .

5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і віссю абсцис.

6. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

7. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена лініями і .

8. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

9. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ординат фігури, яка обмежена параболами і .

10. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і віссю абсцис.

11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена гіперболою , прямими , і віссю абсцис.

12. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0x плоскої фігури, яка обмежена віссю абсцис і параболою .

13. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0x фігури, яка обмежена параболою , прямою і віссю 0x.

14. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0y фігури, яка обмежена гіперболою , віссю 0y і прямими і .

15. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

16. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

17. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

18. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

19. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

20. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

21. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

22. Обчислити площу фігури, обмеженої прямою і параболою .

23. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

24. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

25. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

26. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

27. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

28. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

29. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

30. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

31. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена лініями і .

32. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена параболами і .

5. Знайти частинні похідні функції z=f(x,y).

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ;

 

7) ; 8) ;

 

9) ; 10) ;

 

11) ; 12) ;

 

13) ; 14) ;

 

15) ; 16) ;

 

17) ; 18) ;

 

19) ; 20) ;

 

21) ; 22) ;

 

23) ; 24) ;

 

25) ; 26) ;

 

27) ; 28) ;

 

29) ; 30) ;

 

31) ; 32) .

 

 

6. Задано функцію z=f(x,y) і дві точки: A (x₀; y₀) і B (x ₁; y ₁).

Обчислити:

а) значення функції в точці В;

б) наближене значення функції в точці В, виходячи зі значення її в точці А і замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом;

в) відносну похибку, обумовлену заміною приросту функції диференціалом.

 

1) ; A(1; 2); B(1,02; 1,96);

2) ; A(1; 3); B(1,06; 2,92);

3) ; A(4; 1); B(3,96; 1,03);

4) ; A(2; 3); B(2,02; 2,97);

5) ; A(2; 1); B(1,96; 1,04);

6) ; A(2; 4); B(1,98; 3,91);

7) ; A(-1; 3); B(-0,98; 2,97);

8) ; A(3; 2); B(3,05; 1,98);

9) ; A(3; 4); B(3,04; 3,95);

10) ; A(1; 2); B(0,97; 2,03);

11) ; A(2; 1); B(1,98; 1,03);

12) ; A(1; 2); B(1,02; 1,91);

13) ; A(-1; 1); B(-0,98; 0,97);

14) ; A(1; -1); B(1,02; -0,97);

15) ; A(1; 1); B(1,03; 0,98);

16) ; A(2; -1); B(1,98; -0,97);

17) ; A(-2; 1); B(-1,97; 0,98);

18) ; A(-1; 2); B(-0,98; 1,97);

19) ; A(2; -1); B(1,97; -1,02);

20) ; A(1; -2); B(1,03; -2,02);

21) ; A(2; 1); B(2,03; 0,96);

22) ; A(-2; 2); B(-2,02; 2,05);

23) ; A(1; 3); B(0,95; 2,94);

24) ; A(1; 3); B(0,96; 2,95);

25) ; A(2; 2); B(1,93; 2,05);

26) ; A(1; 3); B(1,07; 2,94);

27) ; A(1,5; 2,3); B(1,43; 2,35);

28) ; A(-4; 5); B(-3,92; 5,06);

29) ; A(1; -3); B(1,08; -2,94);

30) ; A(1; 2); B(1,03; 1,97);

31) ; A(-1; 2); B(-0,97; 2,01);

32) ; A(1; 3); B(0,98; 2,95).

 

7. Знайти: а) градієнт функції z=f(x,y) у точці А;

б) похідну функції z=f(x,y) у точці А

за напрямком вектора .

1) ; A(1; 1); (2; -1);

2) ; A(2; 1); (3; -4);

3) ; A(1; 1); (3; 2);

4) ; A(1; 1); (2; -1);

5) ; A(2; 1); (1; 2);

6) ; A(2; 3); (4; -3);

7) ; A(1; 2); (5; -12);

8) ; A(1; 3); (2; -1);

9) ; A(-1; 2); (4; -3);

10) ; A(1; 1); (2; 1);

11) ; A(-1; 2); (3; 4);

12) ; A(-1; 1); (1; -1);

13) ; A(1; 3); (-5; 12);

14) ; A(2; 2); (2; -3);

15) ; A(1; 1); (6; -8);

16) ; A(3; 4); (-3; -4);

17) ; A(2; 3); (4; 3);

18) ; A(1; 2); (3; -4);

19) ; A(1; -2); (1; 2);

20) ; A(1; 1); (2; -1);

21) ; A(-1; 2); (3; 1);

22) ; A(2; -2); (-2; 5);

23) ; A(1; 3); (8; -6);

24) ; A(3; -2); (3; 4);

25) ; A(1; 4); (-5; 12);

26) ; A(1; -1); (-1; 1);

27) ; A(-2; 4); (4; 3);

28) ; A(4; 3); (2; -1);

29) ; A(2; 1); (2; 2);

30) ; A(-2; 2); (-6; 8);

31) ; A(1; 2); (-3; 4);

32) ; A(-2; 1); (3; 2).

 

 

8. Знайти загальний розв`язок диференціального рівняння.

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

 

9. Знайти загальний розв`язок диференціального рівняння.

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

 

10. Знайти частинний розв`язок диференціального рівняння, який задовольняє вказані початкові умови.

 

1) ; y (0)=0; (0)=0;

2) ; y (0)= ; (0)= ;

3) ; y (0)=0; (0)=0;

4) ; y (0)=1; (0)=0;

5) ; y (0)=1; (0)=3;

6) ; y (0)=0; (0)=0;

7) ; y (0)=1; (0)=0;

8) ; y (0)=2; (0)=3;

9) ; y (0)=1; (0)=2;

10) ; y (0)=3; (0)=2;

11) ; y (0)=0; (0)=1;

12) ; y (0)=0; (0)=1;

13) ; y (0)=0; (0)=1;

14) ; y (0)=0; (0)=2;

15) ; y (0)=0; (0)=0;

16) ; y (0)=0; (0)=1;

17) ; y (0)=0; (0)=1;

18) ; y (0)=0; (0)=-2;

19) ; y (0)=1; (0)=0;

20) ; y (0)=0; (0)= ;

21) ; y (0)=0; (0)=1;

22) ; y (0)=4; (0)=0;

23) ; y (0)=0; (0)=-5;

24) ; y (0)=1; (0)=0;

25) ; y (0)=0; (0)=2;

26) ; y (0)=0; (0)= ;

27) ; y (0)=3; (0)= ;

28) ; y (0)=-1; (0)= ;

29) ; y (0)=2; (0)=-1;

30) ; y (0)=0; (0)=1;

31) ; y (0)=0; (0)=0;

32) ; y (0)=0; (0)=0;

 

11. Розв`язати систему лінійних диференціальних рівнянь.

 

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

 

19) 20)

 

21) 22)

 

23) 24)

 

25) 26)

 

27) 28)

29) 30)

31) 32)

 

Розв’язування типових прикладів

Завдання 1.

1. Знайти інтеграл .

Перевіримо диференціюванням вірність отриманого розв’язку. Для цього знайдемо похідну

Отримали підінтегральну функцію.

2. Знайти інтеграл .

.

3. Знайти інтеграл .

Використаємо формулу інтегрування частинами

(1)

Нехай , . Тоді , . Далі за формулою (1) маємо

.

Перевіримо диференціюванням вірність отриманого розв’язку. Для цього знайдемо похідну

=

Отримали підінтегральну функцію.

4. Знайти інтеграл .

Перетворимо знаменник дробу, що стоїть під знаком інтеграла наступним чином:

Тоді після підстановки , dt=dx отримуємо

При обчисленні інтеграла користувались заміною змінної . Тоді , звідки

5. Обчислити інтеграл .

Підінтегральна функція – неправильний дріб, тому, розділивши чисельник на знаменник, виділимо цілу частину

.

Правильний дріб розкладемо на суму елементарних дробів

,

де А, В, С, D – невизначені коефіцієнти. Звідси

.

Надамо х чотири різних значення (по кількості невизначених коефіцієнтів):

, тоді

, тоді

, тоді

, тоді .

Розв’язавши систему лінійних рівнянь ,

отримаємо , , , .

Тоді

В знаменнику останнього інтегралу виділимо повний квадрат і введемо заміну , , :

.

Остаточно маємо

.

6. Обчислити інтеграл

Виконаємо підстановку тоді Отримуємо

7. Знайти інтеграл .

Скористаємося універсальною тригонометричною підстановкою ,

.

Завдання 2.

1. Нехай необхідно обчислити інтеграл .

Використаємо формулу Ньютона–Лейбніца

Щоб обчислити визначений інтеграл потрібно знайти первісну функцію і замість змінної х спочатку підставити верхню межу b, а потім нижню межу a і від першого результату відняти другий.

 

2. Обчислити інтеграл .

При обчисленні даного інтегралу зробимо заміну змінної. В цьому випадку знаходимо нові границі інтегрування для нової змінної.

.

Завдання 3.

Обчислити інтеграл. .

.

 

Завдання 4.

1. Обчислити площу фігури, обмеженої заданими параболами

Розв’язування.

Знайдемо абсциси точок перетину заданих парабол. Для цього прирівняємо праві частини цих рівнянь:

Звідси

Площу фігури обчислюємо за формулою

де – криві, які обмежують фігуру .

В нашому випадку маємо

 

2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, розташованої в першій координатній чверті і обмеженої параболою , прямою і віссю Ох.

Розв’язування.

Знайдемо абсцису точки перетину параболи і прямої в першій координатній чверті. Для цього розв’яжемо рівняння

або

Знаходимо, що Першій координатній чверті відповідає корінь

Абсцису точки перетину прямої з віссю Ох знайдемо, розв’язавши рівняння звідки

Таким чином, можемо вважати, що тіло обертання обмежене при поверхнею, яка утворена обертанням параболи навколо осі Ох, а при – обертанням прямої .