Моделирование последовательностей и рядов

Создание массива элементов числовой последовательности

При решении некоторых задач необходимо использовать последовательности. Различают два вида последовательностей - числовые и функциональные. Числовые последовательности представляют собой множества чисел. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3,..., п поставлено в соответствие вещественное число x_n то множество чисел x₁, x_2, x₃…, x_n называют числовой последовательностью. Числа x₁, x_2, x₃…, x_n называют членами последовательности, элемент х_п - общим элементом, а число п - его номером. Таким образом, числовая последовательность представляет собой множество пронумерованных элементов.

Говорят, что последовательность задана, если известен способ получения любого ее элемента.

Последовательность обозначается символом {хn}. Например, символ {1/n} - обозначает последовательность чисел 1,

В общем случае для создания массива элементов последовательности в табличном процессоре нужно выполнить следующие действия:

—создать массив, содержащий множество чисел натурального ряда. Каждый элемент этого массива является номером элемента создаваемой числовой последовательности;

—ввести в ячейку формулу последовательности, делая в ней адресные ссылки на ячейки, содержащие номера элементов последовательности;

—скопировать введенную формулу во все другие ячейки диапазона, в котором формируется числовая последовательность.

Для иллюстрации приведенной технологии на рис. 1.13а приведен пример создания последовательности {1/n}, а на рис. 1.136 - последовательности {n/(n+1)} для семи элементов.

 

а) б)

Рис. 1.13 Примеры создания числовых последовательностей: а){1/n};б){n/(n+1)}

 

Для создания наиболее часто встречающихся последовательностей, таких как арифметическая или геометрическая прогрессия, табличный процессор имеет специальный инструмент Прогрессия, который включается командой меню Правка/Заполнить/Прогрессия. Для создания последовательности с помощью этого инструмента нужно:

—ввести значение первого элемента прогрессии в ячейку рабочего листа;

—выделить диапазон ячеек для членов прогрессии;

—выполнить команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия;

—в появившемся окне диалога Прогрессия указать тип и параметры создаваемой последовательности (рис. 1.14).

Рис. 1.14 Диалоговое окно прогрессия

Приближенное вычисление пределов числовых последовательностей

Технологию приближенного вычисления предела числовой последовательности рассмотрим на примере.

Пример 1.12 Найти предел числовой последовательности .

Решение

Пологая, что в ячейке А2 будет находиться число n, в ячейку рабочего листа В2 введем формулу =А2/(А2+1).

В ячейку А2 введем большое число, примерно равное 1 10¹², но не более высокого порядка (в противном случае может наступить переполнение разрядной сетки процессора ПК и результат получится неправильным). После ввода числа в ячейку В2 отобразится приближенное значение предела числовой последовательности (рис.1.15).

 

 

 

Рис. 1.15

 

Применение последовательностей в экономических моделях

Рассмотрим примеры практического применения пределов числовых последовательностей в экономике и финансах.

Известно, что формула сложных процентов имеет вид

где

Q₀^- первоначальная сумма вклада в банк;

р - процент начисления за определенный период времени;

k - количество периодов времени хранения вклада;

Q_k - сумма вклада по истечении k периодов.

Если полагать, что проценты начисляются непрерывно, то справедлива формула , где m-kp/100 – процентная ставка, вычисленная за весь расчетный период и выраженная десятичной дробью.

 

Пример 1.13 Пусть начальный вклад равен 1000 денежных единиц, процентная ставка составляет 10% годовых, начисление процентов непрерывное. Требуется определить, какая сумма вклада будет по истечении двух лет при условии, что финансовый год равен 360 дням.

Решение

Ставка за весь период составит m=10% 2 100=0,2.

Введем исходные данные на рабочий лист, как показано на рисунке, и число n – достаточно большое.

В ячейку Е2 введем формулу для вычисления суммы вклада по истечении двух лет

=$D$2*((1+1:$A$2)^$A$2)^E2 (рис.1.16).

 

 

Рис. 1.16

 

Результат вычисления приведен на рисунке – Q_k=1221,40278 руб. (рис.1.17).

Рис. 1.17