Необходимые условия локального минимума

(условия Куна-Таккера)

Условия Куна – Таккера :

()

 

Выводы:

Замечание 1. Если ограничение – неравенство имеет вид , то его необходимо вводить в функцию Лагранжа в форме

 

Замечание 2. Если выпуклая целевая функция определена на выпуклом допустимом множестве , то необходимые условия оптимальности Куна – Таккера являются одновременно и достаточными.

 

Решим сформулированную выше задачу нелинейного программирования

C=WL+RK ®min,

F(K,L)= Y₀,

K>0, L>0.

Для решения задачи воспользуемся необходимыми условиями оптимальности Куна - Таккера, записанными в терминах функции Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае принимает вид

(20)

где l - множитель Лагранжа. Определяя частные производные этой функции по K, L и l и приравнивая полученные выражения к нулю, получим необходимые условия минимума для положительных объемов факторов K >0, L >0

(21)

Решение данной системы K, L находится для конкретного вида производственной функции. Вместе с тем можно сформулировать правило, согласно которому выбор факторов считается оптимальным, т.е. минимизирующим издержки. Определим множитель Лагранжа из первых двух соотношений (21), обозначая предельные продукты через g и v

(22)

 

Предположим, что выпуск увеличился на одну единицу. Так как предельный продукт капитала g=DY/DK показывает дополнительный объем выпуска, получаемый при использовании дополнительной единицы капитала, то 1/ g =D K /D Y измеряет дополнительный капитал, необходимый для производства единицы продукта. Следовательно, величина R/g соответствует дополнительным затратам на производство единицы продукции за счет увеличения капитала, т.е. предельным затратам производства относительно переменного фактора K. Аналогично величина W/v показывает предельные затраты производства относительно переменного фактора L.

 

Таким образом, фирма минимизирует производственные затраты при выпуске продукции, если она выбирает такое сочетание факторов, при котором предельные затраты относительно этих факторов равны (22) или соблюдается равенство предельных продуктов факторов, отнесенных к цене соответствующего фактора

g/ R=v/W.

 

 

Задача линейного программирования

( см. файл ЛП)

Выбор с несколькими критериями

Пример. Формирование инвестиционного портфеля

 

 

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев . Теоретически можно представить себе слу­чай, когда во множестве X окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор (так, например, на рис. 7.1 множеству X соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости зна­чении двух критериев ; оба критерия желательно максимизиро­вать).

 

 

СВЕДЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ К ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ

Введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента

.

 

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине f₀,выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия).

 

Коэффициенты обеспечивают безразмерность числа (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смыс­ла). Коэффициенты отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

.

 

УСЛОВНАЯ МАКСИМИЗАЦИЯ

 

(7)

 

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис. 7.1,6 приведено решение задачи

.

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (7). Например, если сопутствующий критерий характери­зует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа не­равенств:

 

. (8)

 

На рис. приведено решение задачи

 

.