В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора.

Рекомендуем для наглядности сделать рисунок. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержит литра вещества. Во втором сосуде была только вода. При смешивании получили 13 литров раствора, причём в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

Или составим пропорцию:

13 литров – 100%

1,82 литра – х%

Ответ: 14

 

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Как и предыдущей задаче схематично изображаем сосуды. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержит литра вещества. Во втором сосуде литра вещества. При смешивании получили 10 литров раствора, причём в третьем сосуде литров вещества:

Или составим пропорцию:

10литров – 100%

2,1 литра – х%

Ответ: 21

 

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Отметим, что ни об объёме, ни о массе вещества нет ни каких данных в условии. Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем эскиз:

Получаем:

( нам необходимо разложить на произведение и 0,16 так как полученный объём составляет именно , при помощи данного разложения мы и находим процент).

Ответ: 16

 

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Все подобные задачи, где говорится о смешивании растворов, и даётся два условия смешивания, сводятся к решению системы двух уравнений (их нам и нужно составить).

Пусть масса первого (тридцатипроцентного) раствора равна кг, масса второго равна кг. Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты:

 

Решим систему:

Сразу умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора кислоты.

Ответ: 60

 

99578. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть в первом растворе доля кислоты составляет , во втором . Масса получившегося раствора равна кг. Запишем уравнение, для колличества кислоты .

Составим второе уравнение: сложим равные массы растворов . Здесь не важно, по сколько килограммов данных растворов брать, так как в итоге в уравнении коэффициенты всё равно сократятся. Например, это уравнение можно было записать в частном виде:

или .

Решим систему:

Получили доли (не проценты) содержания кислоты в растворах.

В первом сосуде содержится кг кислоты.

Примечание: если бы за x и y мы приняли проценты содержания кислоты в растворах, уравнения имели бы вид:

В первом сосуде содержится кг кислоты.

Ответ: 18

99574. Виноград содержит влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась подобная задача «о продуктах», где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — запомните, что на самом деле это задача на растворы. Виноград можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». Изюм получается, когда из винограда испаряется вода, а «сухое вещество» остаётся, и его количество остаётся постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда

Составим уравнение:

Или можно рассуждать так:

Находим количество «сухого вещества» в 20 кг изюма

20 кг – 100%

y кг – 95%

В винограда эти 19 кг «сухого вещества» составляют . Пропорция:

х кг – 100%

19 кг – 10%

Ответ: 190

 

99575. Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна , а масса второго равна . В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что

Масса первого сплава меньше массы второго на 100 кг.

Ответ: 100.

 

99576. Первый сплав содержит меди, второй — меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Пусть масса первого сплава равна , масса второго равна . В результате получили сплав массой .

 

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение для количества меди, во втором выразили разность между массами сплавов, оговоренную в условии.

Решая, получим, что

Масса полученного сплава 3+6=9.

Ответ: 9.

 

 

Задачи на прогрессии

Текстовые задачи на прогрессии, которые встречаются в ЕГЭ, просты. Нужно запомнить несколько формул (шесть - они выделены) и главное – понять суть: что такое прогрессия. Итак:

 

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями:

1)

2) (d - разность арифметической прогрессии).

Каждый последующий член арифметической прогрессии равен сумме предыдущего и числа d.

Пример арифметической прогрессии:

2,5,8,11,14,17…

1,2,3,4,5,6,7,8…

Формула n -го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Подставим , получим:

Геометрическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями:

1)

2) n = 1, 2, 3... (q - знаменатель геометрической прогрессии).

 

Каждый последующий член геометрической прогрессии равен произведению предыдущего и числа q.

 

Пример арифметической прогрессии:

2, 6, 18, 54, 162…

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

 

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов

Подставим , получим:

 

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Бригада увеличивает норму покраски на одно и тоже число. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней – это количество членов прогрессии, 240 метров это сумма метров покрашенного забора за все дни (сумма всех членов прогрессии), 60 метров – количество метров, покрашенных за первый и последний дни (сумма первого и последнего члена прогрессии).

Используем формулу суммы:

Подставим

Бригада маляров красила забор 8 дней.

Ответ: 8

 

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Так как каждый день бригада увеличивает норму прокладки на одно и тоже количество метров, значит, мы имеем дело с арифметической прогрессией. 500 метров это сумма метров проложенного тоннеля за все дни (сумма всех членов прогрессии), 3 метра – первый член прогрессии.

n-ый член прогрессии находится по формуле , но здесь нам не известна разность арифмитической прогрессии d.

Используем ту же формулу, что и в предыдущей задаче:

Подставим

В последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97

 

Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Даная задача аналогична предыдущей, но есть один нюанс. Ежедневно Вася увеличивает количество решённых задач на одно и то же число. Это задача на арифметическую прогрессию. 490 задач это сумма арифметической прогрессии, первый её член равен 5 (), количество членов 14 (n =14).

Если вы используете ту же формулу суммы, то никаких вопросов не возникнет, вы получите верный результат:

Если же выберите другой путь к решению, а именно: n-ый член прогрессии находится по формуле , значит

и

d мы можем найти из второй формулы суммы:

Подставим

В последний день Вася решил 65 задач.

Обратите внимание, что разность прогрессии у нас получилась величина дробная , многих это может смутить. Понятно, что Вася не может увеличивать количество решённых задач на эту величину, нельзя же решить задачи (данная задача составлена не корректно, но вы не обращайте на это внимание). Имейте ввиду, что такая задача может попасть и вам. Главное, чтобы в ответе получилось целое число.

Ответ: 65

 

99587. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Понятно, что необходимо посчитать капиталы кампаний к концу 2006 года и найти разность между ними.

Первое, что необходимо определить это вид прогрессии. Сказано, что каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года. Значит, капитал на каждый год составлял 300% (капитал предыдущего года + прибыль, увеличение в 3 раза). Имеем геометрическую прогрессию, где q=3. Первый член прогрессии равен 5000, количество членов прогрессии шесть (количество лет), .

Компания «Бета» ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. Значит, капитал на каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года (увеличение в 5 раз). Так же имеем дело с геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен 10000, количество членов прогрессии 4 (по количеству лет 2003, 2004, 2005, 2006 годы), .

Разность между капиталами кампаний составляет

1 250 000 -1 215 000=35000 долларов.

В данной задаче можно обойтись без расчётов по формуле. Допустим, вы её не помните. Составьте таблицу, и год за годом заполните её исходя из условия. У кампании «Альфа» капитал увеличивайте в 3 раза (капитал предыдущего года + 200% прибыли), у кампании «Бета» в 5 раз (капитал предыдущего года + 400% прибыли).

Альфа
Бета

 

Разность составляет 1250000-1215000=35000 долларов.

Ответ: 35000