Свойства векторного произведения векторов.

 

1) Антикоммутативность (антиперестановочность) множителей

´ = - ´ .

2) Ассоциативность (сочетательность) относительно скалярного множителя

×( ´ ) = × ´ = ´ × .

3) Дистрибутивность (распределительность) относительно сложения (вычитания)

´ ( ) = ´ ´

4) Если = или = , либо || , то ´ = . В частности, ´ = , " .

5) Векторные произведения координатных ортов , , соответственно равны:

(3.1)

Формулы (3.1) можно представить в виде следующей схемы (рис.3.2).

 

(+)

; ; ; ;

(-)

Рисунок 3.2

 

По схеме (3.2), векторное произведение двух соседних ортов в положительном направлении равно следующему орту в этом направлении, взятому со знаком плюс, а векторное произведение двух соседних ортов в отрицательном направлении равно следующему орту в этом направлении, взятому со знаком минус.

Теорема. Если ненулевые векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Кратко: if || ( ¹ , ¹ ) Þ ´ = .

Доказательство.

Если || , ( ¹ , ¹ ) Þ j = 0 либо j = p, где j = ( ) Þ sinj =0 Þ | ´ | = | |×| |×sinj = 0 Þ ´ = . Fin.

NB. Векторное произведение радиус-вектора и силы есть вектор момента силы = ´ относительно точки приложения радиус-вектора .

 

Выражение векторного произведения векторов через их координаты.

 

Теорема.

Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами, = (а_х; а_y; a_z) и = (b_x; b_y; b_z) считается по формуле

´ = (3.2)

Доказательство.

С учетом формул (3.1) получим

´ = (а_х + а_y + a_z )´(b_x + b_y + b_z ) = a_xb_x( ´ ) + a_xb_y( ´ ) + a_xb_z( ´ ) + a_yb_x( ´ ) +a_yb_y( ´ ) + a_yb_z( ´ ) +a_zb_x( ´ ) +a_zb_y( ´ ) +a_zb_z( ´ ) = 0 + a_xb_y - a_xb_z - a_yb_x + 0 + a_yb_z + a_zb_x - a_zb_y + 0 = ×(a_yb_z - a_zb_y) - ×(a_xb_z - a_zb_x) + ×(a_xb_y - a_yb_x) = = × - × + × = . Fin.

Следствие.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , считается по формуле

S_парал. = | ´ | = (3.3)

Пример 1.

Дано: А(1; 1; 1), В(2; 2; 2), С(4; 3; 5). Найти площадь треугольника S_DABC и длину его высоты h_B = | |.

Решение.

Пусть = = (1; 1; 1), = = (3; 2; 4). Площадь треугольника S_DABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и : S_DABC = S_ABЕC (рис.3.3).

В Е

h_B

 

А С

D

 

Рисунок 3.3

Тогда ´ = = × - × + × = 2 - - = (2; -1; -1) Þ S_D = | ´ | = =

С другой стороны, S_D = | |× h_B Þ h_B = =

Ответ: S_D = ед.², h_B = ед.

Пример 2.

Дано: ^ , ^ , где = (4; -2; -3), = (0; 1; 3), | | = 26. Найти координаты вектора .

Решение.

Так как ^ и ^ Þ || = ´ . Из || Þ = × = × ´ = × = ×( × - × + × ) = ×(-3 - 12 + 4 ) = (-3 ; -12l; 4 ). Таким образом, = (-3 ; -12l; 4 ) Þ | | = = ± = ± 13 . Так как по условию | | = 26 Þ 26 = ± 13 Þ = ±2. Следовательно, = (-6; -24; 8), = (6; 24; -8).

Ответ: = (-6; -24; 8), = (6; 24; -8).

 

 

Смешанное произведение трех векторов.

 

Основные понятия.

 

Опр. Смешанное произведение трех векторов , и есть число, равное скалярному произведению вектора ´ = на вектор . Обозначение: = ( ´ )× .

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения).

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов , и численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов { ; ; } правая и отрицательно, если тройка векторов { ; ; } левая.

Доказательство. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , и (рис.4.1).

 

´

 

h ^a

S_осн.

 

O

^{p - a}

 

 

- ´

 

Рисунок 4.1.

 

Тогда для правой тройки векторов { ; ; } по определению скалярного произведения векторов получим: ( ´ )× = | ´ |×| |×cosa = S_осн.× h = V, где h – высота параллелепипеда, V – объем параллелепипеда, S_осн. - площадь его основания, a Î [0; ]. Если { ; ; } - левая тройка векторов, то ( ´ )× = | ´ |×| |×cos(p-a) = S_осн.×(- h) = = -V. Fin.

Следствие 1.

Ненулевые векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство.

1) Необходимость. Если векторы , , компланарны, то есть { ; ; }Î p₁, тогда имеем ( ´ ) ^ Þ a = Þ = ( ´ )× = | ´ |×| |×cos = 0 Þ| ´ |×| | ×0=0

2) Достаточность. Если смешанное произведение = 0 Þ ( ´ )× = 0 Þ ( ´ ) ^ Þ a = Þ { ; ; }Î p₁, то есть векторы , , компланарны. Fin.

Следствие 2.

Смешанное произведение трех векторов, два из которых коллинеарны, равно нулю, так как такие векторы компланарны.

Доказательство. Так как векторы свободные, то коллинеарные векторы параллельным переносом совмещаются с прямой. Оставшийся третий вектор переносится параллельно себе до пересечения с этой прямой и через них проводится плоскость. Следовательно, такие векторы компланарны. Fin.