Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

В ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Выделение теплоты в этом случае характеризуется мощностью источников теплоты q_u, Вт/м³.

Для стационарного режима теплопроводности дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии внутренних источников теплоты имеет вид: .

Теплопроводность однородной пластины.

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2 d мала по сравнению с двумя другими размерами.

Источники теплоты равномерно распределены по объему и равны q_u =const. Заданы коэффициенты теплоотдачи a и температура жидкости t_ж, причем a = const и t_ж = const. Благодаря равномерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины одинаковы.

При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х. Температуру на оси пластины обозначим t0, на ее поверхности – tс. Необходимо определить температуры t0 и tс, распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х. Температуру на оси пластины обозначим t₀, на ее поверхности – t_с. Необходимо определить температуры t₀ и t_с, распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение в рассматриваемом случае принимает вид:

.

Граничные условия:

при х = ± d имеем .

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковы, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х = 0. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например, правую и записать граничные условия для нее в виде:

х = 0; ;

х = d; .

После интегрирования дифференциального уравнения получим:

; .

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий по выражению для первой производной:

при х = 0 получаем С₁ = 0;

при х = d получаем .

Подставим это значение в исходное значение для граничного условия х = d

Þ .

Подставив это выражение в уравнение полученное после второго интегрирования при х = d получим:

Þ .

Подставив значения постоянных С₁ и С₂ в исходное выражение, найдем уравнение температурного поля:

Þ .

Из полученного уравнения следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х:

.

При х = 0 плотность теплового потока q = 0.

Тепловой поток с единицы поверхности пластины при х = d

.

Общее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F ₁):

.

 

Теплопроводность однородного цилиндрического стержня.

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса.

Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела. Заданы температура окружающей среды t_ж = const и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи.

Для цилиндра, как и для пластины, задача одномерна и симметрична. Дифференциальное уравнение теплопроводности при этом имеет вид: . Граничные условия: при r = 0 ;

при r = r ₀ .

Необходимо найти уравнение температурного поля и тепловой поток, а также значения температур на оси t₀ и на поверхности t_c.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение теплопроводности. При этом произведем замену

.

Тогда уравнение теплопроводности запишется в виде:

Þ .

После интегрирования получим:

Þ .

После второго интегрирования получим:

.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий

при r = 0 получаем С₁ = 0;

при r = r ₀ получаем .

Подставив последнее выражение в граничные условия, получим:

Þ .

Подставив это выражение в уравнение полученное после второго интегрирования при r = r ₀ получим:

.

Подставив значения постоянных С₁ и С₂ в исходное выражение, найдем уравнение температурного поля:

.

Полученное выражение показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Из полученного уравнения при r = 0 найдем температуру на оси цилиндра:

.

Плотность теплового на поверхности цилиндра равна:

.

Полный тепловой поток с поверхности цилиндра равна:

.

 

Контрольные вопросы