Ранг матрицы, система линейных уравнений. Теорема кронекера-капелли и следсвие

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.

Пример. В рассмотренной выше матрице все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы равен двум. Это обозначается: .

 

Две матрицы и называются эквивалентными (пишут: ), если их ранги равны: .

Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы:

1) перестановка строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;

4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы.

,.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.

Линейные пространства

Непустое множество L элементов произвольной природы называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

I. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент ,называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем выполняются следующие свойства

1) x + y = y + x [коммутативность];

2) x +(y + z)=(x + y)+ z [ассоциативность];

3) в L существует такой элемент, что x +0= x для всех [существование нуля];

4) для каждого существует такой элемент - x, что x +(- x)=0 [существование противоположного элемента].

[ Эти четыре свойства можно было высказать короче: в L введена операция сложения, превращающая L в абелеву группу.]

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент ,называемый произведением элемента x на число ,причем выполняются следующие свойства

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

В зависимости от того, какой запас чисел используется (все комплексные или только действительные), различают комплексные или действительные пространства.

14. линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов.

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .

Пример 1

а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?

Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:

Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,

Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

два вектора плоскостиколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.