Арифметичні дії додавання і віднімання, множення і ділення

 

Учням відомі чотири арифметичні дії: додавання і віднімання – це дії першого ступеню, множення і ділення – дії другого ступеню.

Більше число на першому ступені знаходять дією додавання, а на другому – множенням. Отже множення – це аналог дії додавання на другому ступені. Множення – це додавання однакових доданків.

Оберненою до дії додавання є дія віднімання.

- Що означає від числа 14 відняти 7? (Із 14 відняти 7 – це означає знайти таке число, яке в сумі з числом 7 дає 14.)

 

14 – 7 = 7, тому що 7 + 7 = 14

+

Оберненою до дії множення є дія ділення.

- Що означає число 14 розділити на 7? (14 розділити на 7 – це означає знайти таке число, яке у добутку з числом 7 дає число 14.)

14: 7 = 2, тому що 2 * 7 = 14

*

При додаванні числа, які додають називають однаково – доданками, і при множенні – теж однаково, множниками. Результат дії додавання називається сумою, а дії множення – добутком.

- Що спільного у назвах компонентів дій додавання і множення? (Компоненти дії додавання та множення називаються однаково, але відрізняються порядком: перший , другий .)

При відніманні число, від якого віднімають, зменшується, тому воно й називається зменшуване; число, яке віднімають, називають від’ємником. При діленні число, яке ділять називають діленим, а число на яке ділять, називають дільником. Результат дії віднімання називають різницею, а результат дії ділення – часткою.

- Що спільного у назвах компонентів дій віднімання і ділення? (Компоненти дій віднімання і ділення називаються по різному: , .)

- Як пов’язані між собою дії віднімання і додавання? Ділення і множення?

Якщо двох чисел один , то отримаємо інший .

 

 

Це зручно показати, використовуючи букви, тобто розглядаючи буквені вирази.

Якщо а – в = с, то а = в + с

І навпаки, якщо а = в + с, то а – в = с або а – с = в

Якщо а: в = с, то а = в * с

І навпаки, якщо а = в * с, то а: в = с або а: с = в

- Чи завжди можна виконати дію додавання у множині натуральних чисел? (Так. Завжди можна знайти таке натуральне число, що є сумою двох інших натуральних чисел.) Наведіть приклади.

- Чи завжди у множині натуральних чисел можна виконати дію множення? (Так.. Завжди можна знайти таке натуральне число, що є добутком двох інших натуральних чисел.) Наведіть приклади.

- Чи завжди у множині натуральних чисел можна виконати дію віднімання? (Дію віднімання не можна виконати, якщо зменшуване менше за від’ємник.) Наведіть приклади.

- Чи завжди у множині натуральних чисел можна виконати дію ділення націло? (Ні, не завжди можна знайти таке натуральне число, що при множенні на дільник дає ділене. Крім того, ділене повинно бути не меншим за дільник.) Наведіть приклади.

Якщо а = в * с, то кажуть, що число а ділиться на в, при цьому часткою є число с. Подалі ми будемо казати і так: а кратне в (це одне й те саме, що й а ділиться в.). Так, 21 кратне 7, 63 кратне 9 і так далі.

- Яке число ми отримаємо, якщо до даного числа додамо 1? (Ми отримаємо наступне число.) Яке число ми отримаємо, що дане число помножимо на 1? (Ми отримаємо те саме число.)

 

а + 1 = в, де в – наступне число

а * 1 = а

- Яке число ми отримаємо, якщо до даного числа додамо нуль? (Отримаємо те саме число.) Яке число ми отримаємо, коли дане число помножимо на 0? (Ми отримаємо нуль!)

а + 0 = а

а * 0 = 0

 

- В якому випадку сума дорівнюватиме одному з доданків? (Коли інший доданок 0!) В якому випадку добуток дорівнюватиме одному з множників? (Коли інший множник 1!)

а + 0 = а

а * 1 = а

 

- Яке число ми отримаємо при відніманні однакових чисел? (При відніманні однакових чисел ми отримаємо 0.) Яке число ми отримаємо при діленні однакових чисел? (При діленні однакових чисел ми отримаємо 1.)

а - а = 0

а: а = 1

 

- Яке число отримаємо при відніманні 1? (При відніманні 1 з даного числа отримаємо попереднє число.) Яке число отримаємо при діленні на 1? (При діленні на 1 отримаємо те саме число.)

а - 1 = в, де в – попереднє число

а: 1 = а

 

 

- Яке число отримаємо при відніманні 0? (При відніманні 0 із даного числа, отримаємо те саме число.) Чи можна ділити на нуль? (На нуль ділити не можна, тому що не існує такого числа, яке при множенні на нуль дає число, відмітне від нуля.) Яке число отримаємо при діленні нуля на будь-яке число? (При діленні нуля на будь-яке число отримаємо нуль.)

а - 0 = а

0: а =0

 

- В якому випадку різниця дорівнюватиме зменшуваному? (Якщо від’ємник дорівнюватиме нулю.) Всякому випадку частка дорівнюватиме діленому? (Якщо дільник дорівнює 1.)

а - 0 = а

а: 1 = а

 

- В якому випадку різниця дорівнюватиме нулю? (Якщо від’ємник дорівнює зменшуваному.) В якому випадку частка дорівнюватиме нулю? (Якщо ділене 0.)

а - а = 0

0: а =0

 

- Для яких арифметичних дій виконується переставний закон? Сформулюйте переставний закон додавання (множення).

Від перестановки значення не змінюється. числа можна у будь-якому порядку.

 

 

а + в = в + а

а * в = в * а

Завдання 1. Обчислити зручним способом:

12 + 24 + 8 2 * 7 * 5 160 + 70 + 140 50 * 9 * 2

25 * 7 * 4 17 + 56 + 23 4 * 9 * 5 420 + 275 + 80

 

- Сформулюйте сполучний закон додавання. Як додати число до суми? Сформулюйте сполучний закон множення. Як помножити добуток на число?

(а + с) + в (а + в) + с = (в + с) + а

(а * с) * в (а * в) * с = (в * с) * а

 

- Як додати суму до числа? Як помножити число на добуток?

(а + в) + с а + (в + с) = (а + с) + в

(а * в) * с а * (в * с) = (а * с) * в

 

- Які закони або властивості застосовані для наступних обчислень?

43 + 29 = 43 + (20 + 9) = (43 + 20) + 9 = 63 + 9 = 72

43 + 29 = 43 + (7 + 22) = (43 + 7) + 22 = 50 + 22 = 72

5 * 14 = 5 * (2 * 7) = (5 * 2) * 7 = 10 * 7 = 70

- Як можна інакше обчислити добуток чисел 5 та 14? На підставі застосування якого правила?

5 * 14 = 5 * (10 + 4) = 5 * 10 + 5 * 4 = 50 + 20 = 70

- Сформулюйте правило множення суми на число. Це розподільний закон множення відносно додавання.

- Сформулюйте правило ділення суми на число. Це розподільний закон ділення відносно додавання.

(а + в) * с = а * с + в * с, де а, в, с натуральні числа

(а + в): с = а: с + в: с, де а, в, с натуральні числа, та а ділиться на с і в ділиться на с націло, с 0

 

 

В яких випадках обчислення ми застосовуємо правило множення суми на число? (При множенні двоцифрового числа на одноцифрове.) Наведіть приклади.

- В яких випадках ми застосовуємо правило ділення суми на число? (При діленні двоцифрового числа на одноцифрове.)

Завдання 2. Розв’яжіть приклади:

23 * 4 42: 3 16 * 7 84: 7 69: 3 72 * 2

- Як можна міркувати при діленні двоцифрового на двоцифрове число? (Можна добирати таке число, яке у добутку з дільником дає ділене, а можна замінити дільник добутком і послідовно поділити на кожний множник.)

- Розгляньте, як знайшли частку чисел 64 та 16.

64: 16 = 64: (8 * 2) = (64: 8): 2 = 8: 2 = 4

- Яким правилом користувалися при розв’язанні? (Користувалися правилом ділення числа на добуток.) Порівняйте правила множення числа на добуток з правилом ділення числа на добуток.

(а * в) * с а * (в * с) = (а * с) * в

(а: в): с а: (в * с) = (а: с): в

 

- Що спільного в цих правилах? Що відмітного? (Спільне те, що спочатку множать або ділять на один множник, а потім множать або ділять на інший множник.)

Опорний конспект 1.

Додавання

Множення

Означення:

Множення – це додавання однакових доданків: а + а + а = а 3 3рази

Задачі на конкретний зміст арифметичних дій:

1. Довідатися, скільки усього. 2. Довідатися, скільки стало, після того, як додали, приїхали, зсипали, змішали …

1. Довідатися, скільки усього, якщо по узято раз.

Назва компонентів і результату дії:

Добуток Дода нок Дода нок   Множ ник Множ ник а + в = с Сума + =

а · в = с =

Перевірка:

Відніманням

Діленням

Взаємозв'язок арифметичних дій:

в = с - а а + в = с а = с - в   Якщо від суми двох доданків віднятиодиндоданок, то отри- маємо іншийдоданок.

в = с: а а ·в = с а = с: в   Якщо добуток двох чисел роз- ділити наодинмножник, то отримаємо інший множник.

Властивості:

а + 0 = 0 + а = а а + 1 = в, де в – наступне число

а * 0 = 0 * а = 0 а * 1 = 1 * а = а

Переставний закон:

а + в = в + а Від перестановки доданків сума не змінюється

а ·в = в ·а Від перестановки множників добуток не змінюється

Сполучна закон:

а + (в + с) (а + в) + с = (а + с) + в

а · (в · с) (а * в) ·с = (а · с) · у

Розподільний закон:

множення відносно додавання (віднімання): (а в) * с = а * с в * с

Зауважимо, що розподільний закон додавання відносно множення місця не має.

Опорний конспект 2

Віднімання

Ділення

Означення:

Від числа а відняти число в – це означає знайти таке число с, що в сумі з числом в дає число а. а – в = с, тому що с + в = а +

Число а розділити на число в - це означає знайти таке число с, що у добутку з числом в дає число а. а: в = с, тому що с * в = а *

Задачі на конкретний зміст арифметичних дій:

1.Довідатися, скільки залишилося, після того, як забрали, виїхали, витратили, продали …

1.Довідатися, скільки разів у міститься по. 2.Довідатися, скільки в одному, якщо розділили на порівну.

Назва компонентів і результату дії:

Ділене Дільник а - в = с Зменшу ване Різниця Від’єм ник – =

а: в = с Частка : =

Перевірка:

Додаванням: якщо при додаванні різниці до від’ємника отримаємо зменшуване, то віднімання виконане вірно.

Множенням: якщо при множенні частки на дільник отримаємо ділене, то ділення виконано вірно.

Взаємозв'язок арифметичних дій:

Від’єм ник   Дільник   Частка Ділене Частка Ділене Дільник в = а - с а - в = с а = с + в   Від’єм ник Різниця Зменшу ване =   Зменшу ване   Різниця = = +

в = а: с а: в = с а = с · в   =       =

Правила:

а + (в - с) (а + в) - с = (а - с) + в

 

(с - а) - в с - (а + в) = (с – в) - а

(с: а): в с: (а * в) = (с: в): а

Розподільний закон

ділення відносно додавання (віднімання): (а в): с = а: с в: с, якщо а та в діляться на с націло та с 0.

 

Треба зазначити, що 4-й клас є випускним класом початкової школи, тому одним із завдань, що стоїть перед вчителем, є підготовка учнів до вивчення математики у середній школі. В 5-му класі у чинному підручнику, автором якого є Г.М.Возняк, Г.М.Литвиненко, М.П. Маланюк (Київ “Освіта”, 1998), учням пропонується багато завдань на застосування знань про зміну результатів арифметичних дій при зміні їх компонентів. Ці знання згідно попередньої програми не були окремим питанням початкового курсу математики, а за новою програмою, авторами якої є Л. Кочина та Н.Листопад, передбачено вивчення залежності між компонентами та результатами арифметичних дій додавання і віднімання, але вивчення залежності між компонентами та результатами арифметичних дій множення і ділення не зазначено у програмі. Таким чином, виходячи з діючої програми та вимог наступного навчання, знанням про зміну результатів арифметичних дій при зміні їх компонентів слід приділити певну увагу.

Зміна результатів арифметичних дій при зміні компонентів (ЗРАДПЗК) – один із видів завдань, які повинні виконувати учні при вивченні кожної арифметичної дії. Учні повинні знати як зміниться результат якої-небудь арифметичної дії, якщо змінити один з її компонентів або два компонента; або як треба змінити компоненти, щоб результат не змінився.

Ці знання мають вагоме значення для формування у дітей первісних уявлень про функціональну залежність. Зазначимо, що лінія функції – одна із ведучих ліній шкільного курсу математики взагалі, тому дуже важливо, щоб вже в початкових класах учні накопичували функціональні уявлення.

Зміна суми в залежності від зміни доданка.     5 + 3   5 + 3 = 8 - Чому дорівнює перший доданок? - Чому дорівнює другий доданок? - Чому дорівнює сума? - Збільшимо перший доданок на 2 одиниці, а другий лишимо без зміни. Цю зміну будемо позначати так: + 2. - Як при цьому зміниться сума?       (5 + 2) + 3   5 + 3 = 8 + 2 - Обчислимо нову суму:     5 + 3 = 8 + 2   7 + 3 = 10 - Попередня сума була 8 а нова сума 10. На скільки збільшилася сума? - Сума збільшилася на 2 одиниці: 10 – 8 = 2 - Ми розглянули дві суми: 5 + 3 = 8 7 + 3 = 10   - При чому верхню суму (8) порівняли з нижньою (10). - Що ми побачили? В цих сумах однакові другі доданки (3), відрізняються вони першими доданками (5 та 7). - Як ми змінили перший доданок? (Ми його збільшили на 2 одиниці.) Як при цьому змінилася сума? (Вона теж збільшилася на 2 одиниці.) - Який висновок можна зробити? (Якщо перший доданок збільшити на 2 одиниці, а другий лишити без змін, то й сума теж збільшиться на 2 одиниці.) - А тепер порівняємо більшу нижню суму (10) з меншою (8). 5 + 3 = 8 7 + 3 = 10