Топологические пространства и топологии.

Комментарий. Функция называется непрерывной в точке (по Коши), если для любого > 0 существует = () > 0, такое, что как только < , то .Удобная модификация: Под окрестностью точки понимается любое открытое множество, содержащее эту точку. Тогдафункция называется непрерывной в точке , если для любой окрестности U точки существует окрестность V точки , такая, что из того, что следует, что .

Для числовых функций эти определения эквивалентны, поскольку, с одной стороны, множество точек , таких, что < , является -окрестностью точки , а множество точек , что , является -окрестностью точки , а с другой стороны, внутри любой окрестности U точки содержится -окрестность для достаточно малого (соответственно в любой окрестности V точки содержится - окрестность для достаточно малого ).

Можно ли дать определение непрерывности для отображения, которое определяется уже не для чисел, а для произвольных носителей, то есть для элементов произвольных множеств? Нет, потому, что неясно, что понимать под окрестностью точки на произвольных носителях.Надо предварительно ввести понятие окрестности точки на произвольном множестве, а потом понятие -окрестности, как частного случая окрестности вообще.

Множество, на котором корректно введено понятие - окрестности точки на произвольных множествах, называется метрическим пространством. Множество, на котором "правильно" введено понятие окрестности точки на произвольных множествах, называется топологическим пространством. Понятие топологического пространства является минимальным для того, чтобы корректно определить понятие непрерывного отображения. Оно обобщает понятие геометрической фигуры в том смысле, что здесь отвлекаются от размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваются только на взаимном расположении частей. Метрическое пространство является частным случаем топологического. Таким образом, любая метрика порождает топологию и даже не одну. Однако, обратное, вообще говоря, не верно: существуют топологии, не порождаемые никакой метрикой.

Для корректного определения понятия окрестности точки в произвольном множестве вспомним, что множество называется открытым, если для любой его точки достаточно малый шар с центром в этой точке (то есть -окрестность для достаточно малого ) целиком входит в это множество.

Ранее было показано, что в метрических пространствах для открытых множеств выполняются два свойства: объединение любого (даже бесконечного) набора открытых множеств есть открытое множество и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Приняв их за аксиомы, получим топологию в аксиоматике Александрова. В силу принципа двойственности топологию можно также задать, описав множество всех замкнутых множеств (т.е. всех дополнений к открытым множествам).

Определение 1. Рассмотрим произвольное множество X – носитель топологического пространства. Множество его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:

- Все X и пустое множество принадлежат ,

- Объединение конечного или бесконечного семейства множеств , принадлежащих , то есть тоже принадлежит ,

- Пересечение конечного числа множеств , принадлежащих , то есть принадлежит .

Определение 2. Носитель топологического пространства – множество X вместе с заданной на нем топологией называется топологическим пространством Т=(Х, ).

Комментарий. Поопределению,все подмножества X, принадлежащие , считаются (называются) открытыми множествами. Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства . Всё множество X и пустое множество считаются открытыми и замкнутыми одновременно.

2.6.1. Способы задания топологии

 

Задать топологическое пространство – значит задать носитель Х и топологию , то есть указать те подмножества Х, которые будем считать открытыми.

Примеры 1. Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества, то есть на любом X включим в топологию вообще все подмножества X (в том числе и все его точки, то есть одноточечные подмножества), само X и пустое подмножество. Такая топология называется дискретной: , где - все подмножества множества Х.

2. Второй крайний случай – антидискретная (тривиальная) топология или топология слипшихся точек: на любом носителе X рассмотрим топологию, в которой всего два множества: все X и пустое: .

3. Вещественная прямая R является топологическим пространством, если назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов.

Действительно, вся числовая прямая очевидным образом открыта, пустое множество включают в число открытых по определению (это непротиворечиво, поскольку в пустом множестве нет точек, тогда можно считать, что каждая из них (!) входит в пустое множество с некоторой -окрестностью). Топологию, состоящую из обычных открытых множеств на числовой прямой, называют нормальной (обычной) топологией. Точно также строится нормальная топология в . Таким образом,нормальная топология это топология стандартных метрических пространств.

4 . Топология Зарисского на числовой прямой. В эту топологию включены вся прямая, пустое множество, и все множества на прямой, дополнения которых до R состоят из конечного числа точек. То есть открытые интервалы получены выбрасыванием из прямой конечного числа точек.

5 . Правая стрелка . Эта топология на числовой прямой состоит из всей прямой, пустого множества, и всех открытых интервалов вида , где a - точка прямой. Аналогично можно задать и левую стрелку.

6. - топологическое двоеточие. Дискретная топология: ,антидискретная топология: . На двоеточии возможны ещё две топологии: и . Метризуема (то есть можно ввести расстояние) только дискретная топология: Остальные – нет. В случае, например, открыты , пустое множество и , замкнуты пустое множество и .

База

Комментарий. Тривиальную и дискретную топологию можно задать, описав все входящие в них множества. С обычной топологией это невозможно, и пришлось описывать ее с помощью свойства, которому удовлетворяют ее множества. Чтобы избежать этого неудобства, было введено понятие базы топологии.

 

Определение 1. Набор открытых множеств называется базой топологии , если любое множество из есть (возможно, бесконечное) объединение множеств из В. Всякая база в топологическом пространстве Т=(Х, ). обладает следующими двумя свойствами:

1) любая точка содержится хотя бы в одном ;

2) если точка содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .

Пример. Базой обычной топологии на прямой являются -окрестности. Действительно, обычное открытое множество характеризуется тем, что каждая его точка имеет некоторую -окрестность, входящую в это множество. Очевидно, что само множество есть объединение указанных -окрестностей всех его точек. Всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары этого пространства.

Определение 2. Говорят, что топологическое пространство имеет счётную базу, если топология этого пространства имеет базу, состоящую из счетного набора множеств (то есть множества, входящие в эту базу, можно занумеровать натуральными числами).

Пример. Обычная топология на прямой имеет счетную базу - это -окрестности с рациональным , центрами которых являются рациональные точки (множество рациональных чисел счетно). Дискретная топология на прямой не имеет счетной базы: в любую базу этой топологии должны входить все точки прямой, а это множество имеет мощность континуума.

Наследство и сила

Комментарий. Топология может наследоваться. Например, в плоскости имеется топология, состоящая из обычных открытых кругов (аналогично случаю числовой прямой). Тогда на любой прямой, лежащей в этой плоскости возникает топология, в которой открытыми множествами являются пересечения с этой прямой и кругов, открытых в плоскости. Эта топология называется индуцированной. В рассматриваемом примере индуцированная топология - это обычная топология на прямой.

В некоторых случаях различные топологии на одном и том же множестве можно сравнивать между собой.

Определение 1. Топология на носителе сильнее топологии на том же носителе, если все множества, входящие в , входят также и в .

Пример. Очевидно, что любая топология сильнее тривиальной, а дискретная сильнее любой топологии. Также понятно, что обычная топология сильнее, чем топология Зарисского и чем правая топология. В то же время топологию Зарисского и правую топологию сравнить между собой нельзя - ни одна из них не является более сильной, чем другая. Более того, можно показать, что если некоторое множество числовой прямой входит сразу в обе эти топологии, то это либо вся числовая прямая, либо пустое множество.

Непрерывные отображения.

Комментарий. Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Определение 1. Точкой топологического пространства называют любой его элемент.

Определение 2. Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.

Определение 3. Для любого топологического пространства множество называется открытым если каждая точка имеет окрестность .

Пусть задано отображение и .

Определение 4. Множество , где называется образом множества А при отображении .

Определение 5. Для отображения множество называется прообразом множества В при отображении . Отображение сюръективно, если , инъективно, если и биективно, если оно сюръективно и инъективно.

Комментарий. Следует различать прообраз , определяемый для любого отображения и обратное отображение , существующее только для биективных отображений.

Пусть задано отображение , где - топологические пространства с топологиями соответственно и . В соответствии с определением окрестности точки в топологическом пространстве, теперь можно дать определение непрерывности отображения в точке.

Определение 6. Отображение называется непрерывным в точке , если точки , такая, что из того, что точка , следует, что . То есть .

 

 

Х

Y

U

x0

V

f (V))))))

 

 

Определение 7. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X. Если множество X фиксировано, отображения называют просто непрерывными, не указывая X.

Примеры. 1. Для произвольных метрических пространств Х и Y постоянное отображение является непрерывным.

2. Тождественное отображение топологического пространства самого на себя является непрерывным.

3. Непрерывную функцию можно рассматривать как непрерывное отображение из топологического пространства R¹ в топологическое пространство R¹.

Теорема 1. (Критерий непрерывности отображения): Отображение непрерывно если и только если для любого открытого множества пространства Y его прообраз принадлежит , то есть является открытым множеством топологического пространства X.

Необходимость. Пусть отображение непрерывно. Покажем, чтодля любого открытого множества пространства Y его прообраз принадлежит , то есть является открытым множеством топологического пространства X. Выберем открытое множество .

U - окрестность каждой своей точки y = F (x), . Тогда каждое имеет такую окрестность, что . Так как, по определению, V есть множество всех точек , таких, что , то . Так как каждое x принадлежит своему , то объединение всех содержит все x. Это значит, что . С другой стороны, все содержатся в V, то есть и их объединение содержится в V, то есть . Из двух включений и следует равенство Таким образом, V есть объединение открытых множеств , то есть оно само открыто по аксиоме топологии.

Достаточность. Теперь пусть для любого открытого множества U топологического пространства Y (то есть ) множество открыто в X (то есть принадлежит ). Покажем, что отображение непрерывно.Выберем произвольную окрестность точки F(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому открыто в X по условию. При этом по построению . Итак, для любой окрестности точки F (x) существует окрестность точки x, такая, что содержится в , то есть выполнено определение непрерывности.

Комментарий. Итак, при непрерывном отображении прообраз открытого отображения открыт, а замкнутого замкнут. Для образов при непрерывных отображениях такого рода утверждения, вообще говоря, не имеют место.

Примеры. Непрерывное отображение f: R¹®R¹, где f(x)=arctgx, отображает бесконечный интервал R=(-¥, +¥) в интервал , т.е. открытое и замкнутое множество – в открытое, но не замкнутое множество.

Непрерывное отображение f: R¹®R¹, где отображает открытое и замкнутое множество R=(-¥, +¥) в полуинтервал (0; 1], который не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

Определение 8. Непрерывное отображение f: X®Y топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется открытым, если при этом отображении образ открытого множества открыт.

Определение 9. Непрерывное отображение f: X®Y топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется замкнутым, если при этом отображении образ замкнутого множества замкнут.

Пример. Тождественное отображение есть пример одновременно открытого и замкнутого отображения.

Комментарий. Эта теорема позволяет строить новые топологии. Пусть задан некоторый класс отображений из множества X в числовую прямую R с обычной топологией или в любое другое топологическое пространство. Зададим набор подмножеств в X, включив туда множества вида для всех открытых множеств U в R и для всех отображений F все их объединения и конечные пересечения, а также всё X и пустое множество. Полученный набор будет топологией.

Определение 10. Взаимно - однозначные и взаимно - непрерывные отображение из топологического пространства X в топологическое пространство Y называются гомеоморфизмами.

Определение 11. Если существует гомеоморфизм , то говорят, что X и Y гомеоморфны друг другу.

Комментарий. В этом случае мы можем наложить X на Y без самопересечений и разрывов, приклеивая к . Так что получается, что X и Y устроены одинаково.

Понятие гомеоморфизма являются центральным для многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные, то есть одинаково устроенные пространства, и поэтому их можно считать разными экземплярами одного и того же объекта.

Виды топологии

Комментарий. Каждое топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой. Эти свойства есть прямое следствие аксиом отделимости. Основных – пять, потому что числовая прямая с обычной топологией удовлетворяет этим пяти аксиомам. Приведем две важнейшие.

А1. Аксиома Колмогорова. У любых двух не совпадающих точек хоть у одной из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

Комментарий. Очевидно, что для тривиальной топологии эта аксиома не выполняется: в этой топологии есть ровно одно непустое открытое множество - всё X, поэтому всё X будет единственной возможной окрестностью для любой точки и для произвольной пары точек их окрестности совпадают. Все остальные вышеописанные пространства этим свойством обладают.

А2. Аксиома Хаусдорфа. Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.

Комментарий. Понятно, что из выполнения аксиомы А2 следует выполнение аксиомы А1,и, значит, если не выполняется аксиома А1, то не выполняется и аксиома А2.

Пример1. Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме А2. Действительно, в этой топологии открытое множество определяется как множество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а так как на прямой число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числе любые две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек. Прямая с обычной и с дискретной топологиями удовлетворяют аксиоме А2.

Метризуемость.

Определение 1. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Определение 2. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример 1. Показать, что метрики , и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

То, что это метрики, было показано ранее. Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства. Покажем, что . Рассмотрим множество , открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в . Аналогично доказывается, что . А тогда и .

 

Теорема 1. Метризуемое топологическое пространство хаусдорфово.

Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Пример 2. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.