Теория автоматического управления: учебник для вузов / под ред. А. В. Нетушила. — 2-е изд. , доп. И перераб. — М. : высшая школа, 1976. — 400 С.

Теория автоматического управления: В 2 ч. / Н.А. Бабаков и др.; под ред. А.А. Воронова. — М.: Высшая школа, 1986. — Ч.1: Теория линейных систем автоматического управления. — 367 с.

Юревич Е.И. Теория автоматического управления. — М.: Энергия, 1975. — 416 с.

Общие сведения о практических работах по теории автоматического управления

Учебная программа по теории автоматического управления предполагает выполнение студентом в процессе обучения одной контрольной работы и трёх лабораторных работ.

Контрольная работа выполняется в компьютерном варианте и содержит 8 задач. Приступая к решению задач по данной теме, необходимо внимательно изучить соответствующий раздел учебного пособия. Решение каждой задачи следует производить в общем виде и только на завершающем этапе подставлять заданные значения переменных.

Примеры решения задач, аналогичных входящим в контрольную работу, приведены в разделе 4. Решения сопровождаются необходимыми пояснениями и основными расчетными соотношениями.

Лабораторные работы выполняются в среде ASIMEC, целью лабораторного цикла является углубление знаний по различным разделам курса ТАУ, овладение практическими навыками исследования, обработки полученных результатов и формулирование выводов по результатам исследования.

Первая лабораторная работа посвящена исследованию характеристик типовых звеньев САУ, вторая — исследованию характеристик статических и астатических САУ, третья — последовательной коррекции САУ.

Каждая лабораторная работа выполняется индивидуально в соответствии с вариантом исходных данных, рассчитанным по общим правилам выбора варианта для студентов дистанционной формы обучения. Результатом выполнения лабораторной работы является отчет по ней, выполненный в виде текстового файла, в котором приведены схемы электронных моделей, таблицы полученных результатов, графики зависимостей, построенные по этим таблицам, выводы, сделанные на основании этих зависимостей, и ответы на контрольные вопросы. Для построения графиков может быть использована любая графическая среда с применением интерполяции, например Microsoft Excel, MathCAD и т.д. Отчёт по работе пересылается по электронной почте, и, после проверки правильности выполнения, студент получает зачет по данной лабораторной работе.

 

Примеры решения задач к контрольной работе

 

Пример 4.1. Определить передаточную функцию пассивного четырехполюсника, электрическая схема которого приведена на рис. 4.1, при Ом, Ом, мкФ, мГн, типовые динамические звенья, входящие в структуру этого четырехполюсника, и параметры этих звеньев.

Решение

Процессы в четырехполюснике описываются системой из трех уравнений. Первое уравнение составляется по первому закону Кирхгофа, например для узла 1, а два других уравнения — по второму закону Кирхгофа, например для контуров I и II (рис. 4.1). В данном случае эта система будет иметь вид:

 

(4.1)

Выходное напряжение четырехполюсника определится уравнением , отсюда

(4.2)

С учетом (4.2) и того, что при нулевых начальных условиях , , , ,

запись системы уравнений (4.1) в операторной форме будет иметь вид:

(4.3)

Систему линейных алгебраических уравнений (4.3) можно решить любым способом, например путем подстановки, методами линейной алгебры и т.д. Наиболее быстрый результат дает метод подстановки, в соответствии с которым из второго уравнения системы (4.3) выразим переменную , подставим полученное соотношение в первое уравнение, найдем и подставим его в третье уравнение, т.е.

,

,

. (4.4)

Подставляя (4.4) в третье уравнение системы (4.3), получим:

Или

.

Отсюда

В соответствии с определением передаточная функция четырехполюсника выразится соотношением

Обозначим

, , , , ,

Тогда

.

Представим полином, расположенный в числителе передаточной функции, в виде , для этого найдем корни , уравнения . В соответствии с правилами решения квадратных уравнений , отсюда с^–1, с^–1.

Тогда эквивалентные постоянные времени форсирующих звеньев с, с. Кроме этого, в четырехполюснике имеется звено второго порядка с передаточной функцией , коэффициент передачи и постоянные времени которого , с, с. Определим коэффициент демпфирования этого звена . Так как , звено второго порядка является колебательным.

Таким образом, при заданных параметрах элементов, пассивный четырехполюсник можно представить последовательным соединением пропорционального звена, двух форсирующих звеньев и колебательного звена. Его передаточная функция может быть записана в виде:

.

Ответ: два форсирующих; колебательное;

; с; с; с; .

Пример 4.2. Определить передаточную функцию активного четырехполюсника, выполненного на операционных усилителях (рис. 4.2, а), и её параметры при кОм, кОм, кОм, мкФ, мкФ.

 

Решение

На усилителе DA 1 реализовано инерционное звено с передаточной функцией . На усилителе DA 2 также реализовано инерционное звено. Этот усилитель является суммирующим, поэтому на его выходе воспроизводится сигнал, соответствующий сумме сигналов, проходящих через звенья с передаточными функциями и . На усилителе DA 3 реализовано пропорциональное звено с передаточной функцией .

 

Таким образом, четырехполюснику, показанному на рис. 4.2, а, будет соответствовать структурная схема, приведенная на рис. 4.2, б. В соответствии с правилами преобразования структурных схем получим

Следовательно, четырехполюсник состоит из пропорционального звена с коэффициентом передачи , форсирующего звена с постоянной времени с и двух инерционных звеньев с постоянными времени с и с, то есть его передаточная функция имеет вид:

.

Ответ: ;

; с; с; с.

Пример 4.3. Пользуясь правилами преобразования структурных схем, определить передаточную функцию устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.3, а, и ее параметры, если , , , , где , , , , с.

Решение

Проведение преобразований структурной схемы, приведенной на рис. 4.3, а, удобнее начать с переноса сумматора 2 назад через звено с передаточной функцией . В соответствии с правилами преобразования структурных схем [2, 4, 5, 7], при осуществлении этой операции передаточную функцию нужно поделить на передаточную функцию .

В результате этого структурная схема приобретает вид, показанный на рис. 4.3, б, причем порядок расположения сумматоров 1 и 2 может быть любым. В результате такого переноса заданная структура получается эквивалентной последовательному соединению звеньев с передаточными функциями и (см. рис. 4.3, в), причем передаточная функция образуется при параллельном соединении звеньев с передаточными функциями и , а передаточная функция — при охвате звена с передаточной функцией отрицательной обратной связью, в которой установлено звено с передаточной функцией . Тогда

где

,

причём

.

Таким образом, устройство, структурная схема которого задана на рис. 4.3, а, эквивалентно инерционному форсирующему звену с передаточной функцией

где

.

Ответ: ;

; ; .

Пример 4.4. Передаточная функция разомкнутой цепи САУ имеет вид , где , с, с, с, с, с. Определить последовательность наклонов участков асимптотической ЛАЧХ САУ.

Решение

Согласно заданной передаточной функции САУ содержит два интегрирующих, два форсирующих и три инерционных звена. Определим частоты сопряжения (в декадах) на асимптотической ЛАЧХ:

дек;

дек;

дек;

дек;

дек.

Зная наклоны асимптотических ЛАЧХ звеньев, входящих в САУ [2, 4, 5, 7], строим ее асимптотическую ЛАЧХ. При ЛАЧХ будет проходить через значение дБ с наклоном –40 дБ/дек (он обусловлен присутствием двух интегрирующих звеньев, для каждого из которых ЛАЧХ имеет наклон –20 дБ/дек на любой частоте). На интервале «включается» первое форсирующее звено с постоянной времени , благодаря которому наклон ЛАЧХ на этом интервале частот будет равен дБ/дек. На частоте вступает в действие инерционное звено с постоянной времени и наклон ЛАЧХ на интервале становится равным дБ/дек. При «включается» второе форсирующее звено с постоянной времени , и на интервале наклон ЛАЧХ снова становится равным дБ/дек. На интервалах и вступают в действие инерционные звенья с постоянными времени и , наклон ЛАЧХ становится равным дБ/дек и дБ/дек соответственно.

Таким образом, последовательность наклонов асимптотической ЛАЧХ будет такой: дБ/дек.

В качестве иллюстрации на рис. 4.4 изображена асимптотическая ЛАЧХ САУ.

Ответ: –40; –20; –40; –20; –40; –60 дБ/дек.

Пример 4.5. Асимптотическая ЛАЧХ САУ имеет вид, приведенный на рис. 4.5. Восстановить по ней передаточную функцию разомкнутой цепи САУ при условии ее реализации на минимально фазовых звеньях первого порядка.

Решение

Наклоны асимптотической ЛАЧХ определяет тип звеньев, входящих в структуру САУ. По заданным значениям рассчитаем частоты сопряжения, соответствующие постоянным времени звеньев:

, ,

, ,

.

В диапазоне частот действуют два последовательно соединенных дифференцирующих звена (это обусловлено начальным наклоном ЛАЧХ, равным +40 дБ/дек). На интервале «включается» инерционное звено, поскольку наклон ЛАЧХ уменьшается на 20 дБ. При вступает в действие еще одно инерционное звено, т.к. наклон ЛАЧХ уменьшается еще на 20 дБ и становится нулевым. В диапазоне частот наклон ЛАЧХ увеличивается на 20 дБ, следовательно, «включается» форсирующее звено. Дальнейшее уменьшение наклона ЛАЧХ на интервалах и на 20 дБ соответственно обусловлено действием еще двух инерционных звеньев.

Таким образом, САУ содержит следующие последовательно соединенные звенья: два дифференцирующих, форсирующее и четыре инерционных и передаточная функция ее разомкнутой цепи будет иметь вид

,

где коэффициент передачи определится из уравнения , отсюда

,

а постоянные времени

с, с,

с, с,

с.

 

Ответ: ;

; с; с; с; с.

Пример 4.6. Определить значение запаса устойчивости по фазе (w) на частоте среза для звена с передаточной функцией при , с, с (ответ привести в градусах с точностью до десятых).

Решение

Заданное звено состоит из двух последовательно соединённых типовых звеньев: инерционного с передаточной функцией и форсирующего с передаточной функцией . По определению, частотой среза называется частота, на которой амплитуда выходного сигнала равна единице. Для указанных последовательно соединённых звеньев амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), равно как и передаточные функции, перемножаются, т.е. амплитуда выходного сигнала на частоте среза , или , отсюда частота среза рад/с. Поскольку фазовые характеристики последовательно соединённых звеньев складываются, т.е. , то фаза на частоте среза (в радианах) , тогда запас устойчивости по фазе

.

Ответ: .

Пример 4.7. Оценить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.6, и определить граничное значение её коэффициента передачи (с точностью до десятых) при , , , , , , с, с, с, .

Решение

Определим передаточную функцию разомкнутой цепи и характеристический полином замкнутой САУ [4, 5, 7]:

где — коэффициент передачи разомкнутой цепи САУ.