П.2.3. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

 

Точка в трехмерном пространстве описывается тремя координатами (x, y, z) которые являются проекциями точки на оси Oх, Oу и Oz. Используем другой подход. Введем r - расстояние от начала координат до точки, j - угол поворота в плоскости Oxy, y - угол, который отсчитывают от плоскости Oxy. Сферические координаты (r,j,y) связаны с декартовыми координатами соотношениями , где 0£j<2p, -p/2£y£p/2, 0£r<+¥. Якобиан перехода к сферическим координатам равен (проверить самостоятельно). Тогда справедлива формула замены в тройном интеграле:

 

(20)

Сферические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования есть шар или его часть, так как уравнение его границы - сферы x ²+ y ²+ z ²= R ², где R - радиус сферы, в сферических координатах имеет вид r = R. Удобно также переходить и в случае, если подынтегральная функция содержит выражения вида x ²+ y ²+ z ²= r ².Если область G ограничена эллипсоидом x ²/ a ²+ y ²/ b ²+ z ²/ с ²=1, то используют обобщенные сферические координаты , где якобиан . В этих координатах уравнение эллипсоида имеет простой вид r =1.

 

Пример 1: Вычислить , где G – шар .

Решение: Границей области G является сфера x ²+ y ²+ z ²=1, уравнение которой в сферических координатах имеет вид r =1. Так как r – расстояние до начала координат, то для любой точки шара выполняется неравенство . Угол φ вводится в плоскости Oxy так же, как и в полярных координатах. Проекция шара на плоскость Oxy - круг, а для круга . Угол отклонения ψ от плоскости Oxy принимает наибольшее значение для точек, лежащих на оси Оz при z >0 и наименьшее значение на оси Oz при z <0. Поэтому для шара всегда . Таким образом, при переходе к сферическим координатам шар G преобразуется в область Ω, которая является прямоугольным параллелепипедом: , , .

 

Пример 2: Вычислить , где G – часть шара , лежащая в первом октанте (x >0, y >0, z >0).

Рис.40

Решение: Область G приведена на рис. 40. Как уже говорилось, для всех точек шара справедливо . Проекцией области G на плоскость Оху является часть круга, лежащего в первой четверти, поэтому . Угол ψ принимает в данной области наименьшее значение ψ =0 для точек координатной плоскости z =0, а наибольшее значение для точек на оси Оz при z>0. Расставляем пределы интегрирования:

 

 

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , если область G ограничена сферой .

Рис.41

Решение: Преобразуем уравнение сферы к каноническому виду, выделив полный квадрат по z: . Сфера с центром в точке (0,0,1/2) радиуса 1/2, касается начала координат и расположена выше координатной плоскости z =0 (рис. 41). Ее уравнение в сферических координатах имеет вид r =sin ψ, так что для всех внутренних точек выполняется неравенство . Так как проекцией области G на плоскость Оху является круг, то .Угол отклонения ψ для данной области изменяется в пределах . Расставляем пределы интегрирования:

 

Пример 4: Перейти к сферическим координатам и вычислить , где G - объем, ограниченный поверхностями x ²+ y ²= z ², x ²+ y ²+ z ²= a ², z =0, x =0, y =0

 

Решение: Область G - это часть шара, лежащего в первом октанте и вырезанного конусом (рис.42).Как уже говорилось, для шара в первом октанте , , а угол ψ наименьшее значение принимает на поверхности конуса. Найдем его из уравнения конуса, преобразовав к сферическим координатам: r ²(cos² φ +sin² φ)cos² ψ = r ²sin² ψ или tg ψ =1,откуда получаем .

Перейдем к сферическим координатам:

 

 

 

Рис.42 Рис.43

 

 

Пример 5: В интеграле перейти к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования, если G – общая часть двух шаров и .

 

Решение: Область G приведена на рис.43. Из рисунка видно, что нижней границей области является сфера со смещенным центром, ее уравнение r =2 R sin ψ, а верхней – сфера с центром в начале координат, уравнение которой r = R. Поэтому область G необходимо разбить на две области конической поверхностью, проходящей через линию пересечения двух сфер. Найдем ее уравнение: 2 R sin ψ = R или sinψ=1/2, откуда получаем . В первой области при координата r изменяется от 0 до 2 R sin ψ, а во второй области при r изменяется от 0 до R. В обоих случаях , так как проекциями этих областей на плоскость Оху является круг. В итоге получаем

Замечание: При решении некоторых задач, например, связанных с радиолокацией, удобнее отсчитывать угол y не от плоскости Oху, а от оси Oz. Приведем данные координаты:

, где 0£j<2p, 0£y£p, 0£r<+¥, .